Pelo Método dos Coeficientes a Determinar, resolver as equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=4 x+10

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial linear de segunda ordem
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=4x+10.
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes, e não homogênea.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é o polinômio 4x+10 (grau 1).
  • O objetivo é obter a solução geral y(x), que normalmente é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Vamos resolver primeiro a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=0.
Para isso usamos a equação característica: substituímos y\mapsto e^{rx} e obtemos
r^{2}+4r+4=0.
Resolvendo essa equação quadrática:
r^{2}+4r+4=(r+2)^{2}=0,
portanto encontramos uma raiz dupla r=-2 (multiplicidade 2). Quando a raiz é dupla, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{-2x}+C_{2}x e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos obter uma solução particular y_{p}(x) usando o Método dos Coeficientes a Determinar (método dos coeficientes indeterminados). Explicando a ideia de forma didática:
  • Quando o termo não homogêneo é um polinômio de grau n (aqui n=1), tentamos uma solução particular que seja também um polinômio de grau n com coeficientes indeterminados.
  • Existe uma correção: se e^{\lambda x} aparece no termo forçante e \lambda é raiz da equação característica de multiplicidade m, multiplicamos a tentativa por x^{m}. No caso de um polinômio puro, isso corresponde a \lambda=0 (pois polinômio = e^{0x}\cdotpolinômio). Então precisamos verificar se r=0 é raiz da característica.
  • Avaliando a característica em r=0 temos 0^{2}+4\cdot0+4=4\neq0. Logo r=0 NÃO é raiz, então não precisamos multiplicar por x.
    Conclusão: tentamos um polinômio de grau 1 na forma
y_{p}(x)=Ax+B,
com A e B a determinar.

Passo 4

Calculemos as derivadas da nossa tentativa:
y_{p}^{\prime}(x)=A,\qquad y_{p}^{\prime\prime}(x)=0.
Expliquei: para y_{p}(x)=Ax+B, a derivada é a constante A e a segunda derivada é zero — coisa simples de derivar polinômios.

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} na equação diferencial:
y_{p}^{\prime\prime}+4y_{p}^{\prime}+4y_{p}=0 + 4A + 4(Ax+B).
Agrupando termos:
4A + 4(Ax+B)=4Ax + 4(A+B).
Essa expressão deve ser igual ao termo não homogêneo 4x+10. Então impomos
4Ax + 4(A+B) = 4x + 10.

Passo 6

Agora igualamos coeficientes dos termos em x e dos termos constantes (procedimento padrão para polinômios iguais).
  • Coeficientes de x: \;4A = 4. Daí
A = 1.
  • Termos constantes: \;4(A+B) = 10. Substituindo A=1,
4(1+B)=10 \implies 1+B=\frac{10}{4}=\frac{5}{2} \implies B=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}.

Passo 7

Portanto a solução particular é
y_{p}(x)=x+\frac{3}{2}.
Podemos, se quisermos, checar rapidamente: y_{p}^{\prime}=1, y_{p}^{\prime\prime}=0, e substituindo obtemos 0+4\cdot1+4\left(x+\tfrac{3}{2}\right)=4x+10, que coincide com o lado direito — verificação feita.

Passo 8

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{-2x}+C_{2}x e^{-2x}+x+\frac{3}{2},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-2x}+C_{2}x e^{-2x}+x+\dfrac{3}{2}

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