Pelo Método dos Coeficientes a Determinar, resolver as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial linear de segunda ordem
Informações relevantes do enunciado:
- A equação é linear, com coeficientes constantes, e não homogênea.
- O termo não homogêneo (lado direito) é o polinômio
(grau ). - O objetivo é obter a solução geral
, que normalmente é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Vamos resolver primeiro a equação homogênea associada:
Para isso usamos a equação característica: substituímos
e obtemos
Resolvendo essa equação quadrática:
portanto encontramos uma raiz dupla
(multiplicidade
). Quando a raiz é dupla, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora vamos obter uma solução particular
usando o Método dos Coeficientes a Determinar (método dos coeficientes indeterminados). Explicando a ideia de forma didática:
- Quando o termo não homogêneo é um polinômio de grau
(aqui ), tentamos uma solução particular que seja também um polinômio de grau com coeficientes indeterminados. - Existe uma correção: se
aparece no termo forçante e é raiz da equação característica de multiplicidade , multiplicamos a tentativa por . No caso de um polinômio puro, isso corresponde a (pois polinômio = polinômio). Então precisamos verificar se é raiz da característica. - Avaliando a característica em
temos . Logo NÃO é raiz, então não precisamos multiplicar por .
Conclusão: tentamos um polinômio de grauna forma
com
e
a determinar.
Passo 4
Calculemos as derivadas da nossa tentativa:
Expliquei: para
, a derivada é a constante
e a segunda derivada é zero — coisa simples de derivar polinômios.
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Agrupando termos:
Essa expressão deve ser igual ao termo não homogêneo
. Então impomos
Passo 6
Agora igualamos coeficientes dos termos em
e dos termos constantes (procedimento padrão para polinômios iguais).
- Coeficientes de
: . Daí
- Termos constantes:
. Substituindo ,
Passo 7
Portanto a solução particular é
Podemos, se quisermos, checar rapidamente:
,
, e substituindo obtemos
, que coincide com o lado direito — verificação feita.
Passo 8
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias.