Resolver as equações diferenciais de segunda ordem com condições iniciais:
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Informações dadas:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
e
Não se resolve nada ainda neste passo; apenas organizei o que foi pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Procuramos soluções da equação tomando uma função-piloto cuja diferenciação mantenha a forma, isso facilita reduzir a EDO a uma equação algébrica. A escolha clássica é tentar uma solução do tipo
, porque ao derivar aparece o mesmo tipo de função multiplicada por constantes:
e
. Substituindo na EDO transforma-se a equação diferencial numa equação para
, chamada equação característica.
Passo 3
Substituindo
em
e dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica:
Agora resolvemos para
. Isolando,
ou seja, as raízes são complexas conjugadas
e
.
Passo 4
Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas
, a forma geral das soluções reais é
onde
e
são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais. Essa fórmula vem da combinação linear das partes real e imaginária das soluções
e
usando a fórmula de Euler
. No nosso caso temos
e
, portanto a solução geral real é
Passo 5
Precisamos das constantes
e
, então calculamos a derivada
usando a regra da cadeia (derivada de
é
; derivada de
é
):
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais.
- Pela condição
temos
Logo
.
- Pela condição
temos, usando a expressão de ,
Como
, segue
e portanto
.
Passo 7
Com
e
a solução geral reduz-se à solução trivial
Observação útil para a prova: para uma equação linear homogênea de segunda ordem com condições iniciais prescritas, existe e é única uma solução (teorema de existência e unicidade). Aqui a única solução que satisfaz as duas condições é a nula. Um exemplo parecido e simples para fixar a ideia: se tivéssemos
com
e
, então a solução seria
(a mesma técnica: raízes
, solução
, aplicar condições para achar constantes).