Resolver as equações diferenciais de segunda ordem com condições iniciais:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+36 y=0 y(0)=0 e y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Informações dadas:
  • Equação diferencial: \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 36\,y = 0.
  • Condições iniciais: \,y(0)=0 e \,y'(0)=0.
    Não se resolve nada ainda neste passo; apenas organizei o que foi pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Procuramos soluções da equação tomando uma função-piloto cuja diferenciação mantenha a forma, isso facilita reduzir a EDO a uma equação algébrica. A escolha clássica é tentar uma solução do tipo \,y(x)=e^{r x}, porque ao derivar aparece o mesmo tipo de função multiplicada por constantes: \dfrac{d}{dx}e^{r x}=r e^{r x} e \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}e^{r x}=r^{2} e^{r x}. Substituindo na EDO transforma-se a equação diferencial numa equação para r, chamada equação característica.

Passo 3

Substituindo y=e^{r x} em \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}+36y=0 e dividindo por e^{r x} (que nunca é zero) obtemos a equação característica:
r^{2}+36=0.
Agora resolvemos para r. Isolando,
r^{2}=-36 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 6\,i,
ou seja, as raízes são complexas conjugadas r_{1}=6i e r_{2}=-6i.

Passo 4

Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a forma geral das soluções reais é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais. Essa fórmula vem da combinação linear das partes real e imaginária das soluções e^{(\alpha+i\beta)x} e e^{(\alpha-i\beta)x} usando a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. No nosso caso temos \alpha=0 e \beta=6, portanto a solução geral real é
y(x)=C_{1}\cos(6x)+C_{2}\sin(6x).

Passo 5

Precisamos das constantes C_{1} e C_{2}, então calculamos a derivada y'(x) usando a regra da cadeia (derivada de \cos(6x) é -6\sin(6x); derivada de \sin(6x) é 6\cos(6x)):
y'(x)=-6C_{1}\sin(6x)+6C_{2}\cos(6x).

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais.
  • Pela condição \,y(0)=0 temos
y(0)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Logo C_{1}=0.
  • Pela condição \,y'(0)=0 temos, usando a expressão de y'(x),
y'(0)=-6C_{1}\sin(0)+6C_{2}\cos(0)= -6C_{1}\cdot 0 + 6C_{2}\cdot 1 = 6C_{2}.
Como y'(0)=0, segue 6C_{2}=0 e portanto C_{2}=0.

Passo 7

Com C_{1}=0 e C_{2}=0 a solução geral reduz-se à solução trivial
y(x)=0 \quad\text{para todo }x.
Observação útil para a prova: para uma equação linear homogênea de segunda ordem com condições iniciais prescritas, existe e é única uma solução (teorema de existência e unicidade). Aqui a única solução que satisfaz as duas condições é a nula. Um exemplo parecido e simples para fixar a ideia: se tivéssemos \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=0 com y(0)=1 e y'(0)=0, então a solução seria y(x)=\cos x (a mesma técnica: raízes \pm i, solução C_{1}\cos x + C_{2}\sin x, aplicar condições para achar constantes).

Resposta

y(x)=0

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