Encontrar a solução geral da equação:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=x e^{x}+2 \cos (2 x).

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial não homogenea
y''-4y'=x e^{x}+2\cos(2x).
Informações dadas e coisas importantes para guardar:
  • O lado esquerdo é um operador linear com coeficientes constantes: y''-4y'.
  • O lado direito é soma de duas funções: x e^{x} e 2\cos(2x). Pela linearidade, podemos buscar uma solução particular como soma de soluções particulares para cada termo.
  • A solução geral terá a forma
y(x)=y_h(x)+y_p(x),
onde y_h é a solução da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''-4y'=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rx} e obtemos a equação para r:
r^{2}-4r=0.
Resolver essa equação polinomial:
r(r-4)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=4.
Cada raiz real simples gera uma solução exponencial independente. Assim as soluções fundamentais são e^{0x}=1 e e^{4x}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}+C_{2}e^{4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Explicação didática rápida: a ideia é que o espaço de soluções da homogênea tem dimensão igual à ordem da equação (aqui 2). As funções 1 e e^{4x} são linearmente independentes e geram todas as combinações lineares possíveis para a homogênea.

Passo 3

Escolher método para obter uma solução particular y_p.
  • O lado direito é soma de termos “simples” (polinômio vezes exponencial e termo trigonométrico). O método de coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados) é apropriado aqui porque a parte não-homogênea tem formas que esse método trata bem.
  • Pelo princípio da superposição, buscamos y_p como soma de duas partes:
y_p(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x),
onde y_{p1} trata x e^{x} e y_{p2} trata 2\cos(2x).
Antes de propor formas, verificamos ressonância: devemos checar se e^{x} ou \cos(2x),\sin(2x) aparecem na base da homogênea. A homogênea tem raízes 0 e 4, portanto não há r=1 nem raízes imaginárias \pm 2i. Logo não há ressonância e podemos usar as formas padrão de ansatz (sem multiplicar por potências de x).

Passo 4

Determinar y_{p1} para o termo x e^{x}.
Motivação do ansatz: quando o termo é um polinômio de grau n multiplicado por e^{ax}, e a não é raiz da característica, propomos e^{ax} vezes um polinômio de mesmo grau n com coeficientes indeterminados. Aqui o polinômio é de grau 1 x), e a=1. Como 1 não é raiz da característica, proponho:
y_{p1}(x)=e^{x}\big(Ax+B\big),
com A,B constantes a determinar.
Agora calculamos derivadas (faça as contas passo a passo na prova):
Primeira derivada:
y'_{p1}= \frac{d}{dx}\big[e^{x}(Ax+B)\big] = e^{x}(Ax+B) + e^{x}A = e^{x}\big(Ax + (A+B)\big).
Segunda derivada:
y''_{p1}= \frac{d}{dx}\big[e^{x}(Ax + (A+B))\big] = e^{x}(Ax + (A+B)) + e^{x}A = e^{x}\big(Ax + (2A+B)\big).
Substituímos na equação y''-4y'=x e^{x}:
y''_{p1}-4y'_{p1} = e^{x}\big(Ax + (2A+B)\big) -4 e^{x}\big(Ax + (A+B)\big).
Fatorando e^{x} e agrupando termos:
y''_{p1}-4y'_{p1} = e^{x}\Big[(A-4A)x + (2A+B -4A -4B)\Big] = e^{x}\Big[-3A\,x +(-2A -3B)\Big].
Esse resultado deve ser igual ao termo não homogêneo correspondente, x e^{x}. Ou seja:
e^{x}\Big[-3A\,x +(-2A -3B)\Big] = e^{x}\big(1\cdot x + 0\big).
Comparando coeficientes do polinômio em x:
  • Coeficiente de x e^{x}: -3A = 1 \Rightarrow A = -\dfrac{1}{3}.
  • Coeficiente de e^{x} (termo constante): -2A -3B = 0. Substituindo A:
-2\Big(-\tfrac{1}{3}\Big) -3B = 0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{2}{3} -3B=0 \quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{2}{9}.
Portanto
y_{p1}(x)=e^{x}\Big(-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{9}\Big).

Passo 5

Determinar [y_{p2}) para o termo 2\cos(2x).
Motivação do ansatz: para termos trigonométricos \alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x) e não havendo ressonância, usamos uma combinação a\cos(2x)+b\sin(2x). Como o termo é 2\cos(2x), proponho:
y_{p2}(x)=a\cos(2x)+b\sin(2x),
com a,b constantes a determinar.
Calculamos derivadas:
y'_{p2}= -2a\sin(2x)+2b\cos(2x),
y''_{p2}= -4a\cos(2x)-4b\sin(2x).
Substituímos em y''-4y':
y''_{p2}-4y'_{p2} = \big(-4a\cos(2x)-4b\sin(2x)\big) -4\big(-2a\sin(2x)+2b\cos(2x)\big).
Distribuindo e agrupando termos por \cos(2x) e \sin(2x):
y''_{p2}-4y'_{p2} = \big(-4a -8b\big)\cos(2x) + \big(-4b +8a\big)\sin(2x).
Isso deve ser igual a 2\cos(2x)+0\cdot\sin(2x). Portanto igualando coeficientes obtemos o sistema linear:
\begin{cases} -4a -8b = 2,\\[4pt] -4b +8a = 0. \end{cases}
Resolvendo o sistema: da segunda equação temos 8a = 4b\] ou simplificando \(2a=b. Substituindo na primeira:
-4a -8(2a) = 2 \quad\Rightarrow\quad -4a -16a =2 \quad\Rightarrow\quad -20a =2 \quad\Rightarrow\quad a = -\tfrac{1}{10}.
Então b=2a = -\tfrac{1}{5}. Assim
y_{p2}(x) = -\tfrac{1}{10}\cos(2x) -\tfrac{1}{5}\sin(2x).]

Passo 6

Montar a solução particular total e a solução geral.
Somando as duas partes particulares:
y_p(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)= e^{x}\Big(-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{9}\Big) -\tfrac{1}{10}\cos(2x) -\tfrac{1}{5}\sin(2x).
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com y_p:
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{4x} + e^{x}\Big(-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{9}\Big) -\tfrac{1}{10}\cos(2x) -\tfrac{1}{5}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Vai dar tudo certo — você chegou ao resultado, e na prova faça as contas com calma como fizemos aqui!

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{4x} + e^{x}\Big(-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{9}\Big) -\tfrac{1}{10}\cos(2x) -\tfrac{1}{5}\sin(2x)

Exercícios relacionados