Encontrar a solução geral da equação:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=x e^{x}+2 \cos (2 x).
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=x e^{x}+2 \cos (2 x).
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial não homogenea
Informações dadas e coisas importantes para guardar:
- O lado esquerdo é um operador linear com coeficientes constantes:
. - O lado direito é soma de duas funções:
e . Pela linearidade, podemos buscar uma solução particular como soma de soluções particulares para cada termo. - A solução geral terá a forma
onde
é a solução da equação homogênea associada e
é uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos
e obtemos a equação para
:
Resolver essa equação polinomial:
Cada raiz real simples gera uma solução exponencial independente. Assim as soluções fundamentais são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação didática rápida: a ideia é que o espaço de soluções da homogênea tem dimensão igual à ordem da equação (aqui 2). As funções
e
são linearmente independentes e geram todas as combinações lineares possíveis para a homogênea.
Passo 3
Escolher método para obter uma solução particular
.
- O lado direito é soma de termos “simples” (polinômio vezes exponencial e termo trigonométrico). O método de coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados) é apropriado aqui porque a parte não-homogênea tem formas que esse método trata bem.
- Pelo princípio da superposição, buscamos
como soma de duas partes:
onde
trata
e
trata
.
Antes de propor formas, verificamos ressonância: devemos checar se
ou
aparecem na base da homogênea. A homogênea tem raízes
e
, portanto não há
nem raízes imaginárias
. Logo não há ressonância e podemos usar as formas padrão de ansatz (sem multiplicar por potências de
).
Passo 4
Determinar
para o termo
.
Motivação do ansatz: quando o termo é um polinômio de grau
multiplicado por
, e
não é raiz da característica, propomos
vezes um polinômio de mesmo grau
com coeficientes indeterminados. Aqui o polinômio é de grau
(é
), e
. Como
não é raiz da característica, proponho:
com
constantes a determinar.
Agora calculamos derivadas (faça as contas passo a passo na prova):
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituímos na equação
:
Fatorando
e agrupando termos:
Esse resultado deve ser igual ao termo não homogêneo correspondente,
. Ou seja:
Comparando coeficientes do polinômio em
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
(termo constante): . Substituindo :
Portanto
Passo 5
Determinar [y_{p2}) para o termo
.
Motivação do ansatz: para termos trigonométricos
e não havendo ressonância, usamos uma combinação
. Como o termo é
, proponho:
com
constantes a determinar.
Calculamos derivadas:
Substituímos em
:
Distribuindo e agrupando termos por
e
:
Isso deve ser igual a
. Portanto igualando coeficientes obtemos o sistema linear:
Resolvendo o sistema: da segunda equação temos
. Substituindo na primeira:
Então
. Assim
Passo 6
Montar a solução particular total e a solução geral.
Somando as duas partes particulares:
Somando as duas partes particulares:
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com
:
onde
e
são constantes arbitrárias. Vai dar tudo certo — você chegou ao resultado, e na prova faça as contas com calma como fizemos aqui!