Encontrar a solução geral e resolver o PVI: \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-2 y=x^{2} \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária não homogênea de segunda ordem
y''+4y'-2y = x^{2},
e (ii) resolver o problema de valor inicial (PVI) com as condições
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Informações dadas: a equação é linear, de coeficientes constantes, com membro à direita igual ao polinômio \,x^{2}. Essas são todas as informações necessárias para começar a resolver.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y_h''+4y_h'-2y_h=0.
A técnica padrão é assumir soluções exponenciais y_h=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
r^{2}+4r-2=0.
Agora usamos a fórmula quadrática para resolver essa equação para r.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) à equação
Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa
y''+4y'-2y = x^{2}.
Como o membro à direita é um polinômio de grau 2, usamos o método dos coeficientes indeterminados e tentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau:
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
onde A,B,C são constantes a determinar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(x)=2Ax+B,\qquad y_{p}''(x)=2A.
Substituímos y_{p},y_{p}',y_{p}'' na equação diferencial:
Uma observação didática: usamos uma função polinomial do mesmo grau do lado direito porque zero não é raiz da equação característica; se r=0 fosse raiz de multiplicidade m, teríamos de multiplicar o palpite por x^{m}.
Passo 10
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular: