Encontrar a solução geral e resolver o PVI:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-2 y=x^{2} \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária não homogênea de segunda ordem
y''+4y'-2y = x^{2},
e (ii) resolver o problema de valor inicial (PVI) com as condições
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Informações dadas: a equação é linear, de coeficientes constantes, com membro à direita igual ao polinômio \,x^{2}. Essas são todas as informações necessárias para começar a resolver.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y_h''+4y_h'-2y_h=0.
A técnica padrão é assumir soluções exponenciais y_h=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
r^{2}+4r-2=0.
Agora usamos a fórmula quadrática para resolver essa equação para r.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) à equação
r^{2}+4r-2=0
temos
r=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot(-2)}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{16+8}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2}.
Como \sqrt{24}=2\sqrt{6}, obtemos as raízes
r_{1}=-2+\sqrt{6},\qquad r_{2}=-2-\sqrt{6}.

Passo 4

Como as duas raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_{h}(x)=C_{1}e^{(-2+\sqrt{6})x}+C_{2}e^{(-2-\sqrt{6})x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa
y''+4y'-2y = x^{2}.
Como o membro à direita é um polinômio de grau 2, usamos o método dos coeficientes indeterminados e tentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau:
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(x)=2Ax+B,\qquad y_{p}''(x)=2A.
Substituímos y_{p},y_{p}',y_{p}'' na equação diferencial:
2A+4(2Ax+B)-2(Ax^{2}+Bx+C)=x^{2}.

Passo 7

Expandimos e agrupamos termos por potências de x:
2A+8Ax+4B-2Ax^{2}-2Bx-2C = x^{2}.
Organizando por potências:
\bigl(-2A\bigr)x^{2} + \bigl(8A-2B\bigr)x + \bigl(2A+4B-2C\bigr) = 1\cdot x^{2} + 0\cdot x + 0.

Passo 8

Igualamos coeficientes de cada potência de x (procedimento padrão para polinômios iguais para todo x):
  • Coeficiente de x^{2}:
-2A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{1}{2}.
  • Coeficiente de x:
8A-2B = 0 \quad\Rightarrow\quad -4-2B=0 \quad\Rightarrow\quad B=-2,
pois usamos A=-\tfrac12.
  • Termo constante:
2A+4B-2C = 0 \quad\Rightarrow\quad 2\Bigl(-\tfrac12\Bigr)+4(-2)-2C=0
\Rightarrow\quad -1-8-2C=0 \quad\Rightarrow\quad -9-2C=0 \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{9}{2}.

Passo 9

Assim a solução particular encontrada é
y_{p}(x) = -\frac{1}{2}x^{2}-2x-\frac{9}{2}.
Uma observação didática: usamos uma função polinomial do mesmo grau do lado direito porque zero não é raiz da equação característica; se r=0 fosse raiz de multiplicidade m, teríamos de multiplicar o palpite por x^{m}.

Passo 10

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{(-2+\sqrt{6})x}+C_{2}e^{(-2-\sqrt{6})x}-\frac{1}{2}x^{2}-2x-\frac{9}{2}.

Passo 11

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro avaliamos y(0):
y(0)=C_{1}+C_{2}-\frac{9}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=\frac{11}{2}.

Passo 12

Precisamos de y'(x). Derivando a solução geral:
y'(x)=C_{1}(-2+\sqrt{6})e^{(-2+\sqrt{6})x}+C_{2}(-2-\sqrt{6})e^{(-2-\sqrt{6})x} + \bigl(2Ax+B\bigr),
mas já sabemos A=-\tfrac12 e B=-2, então a parte polinomial é
2Ax+B = 2\Bigl(-\tfrac12\Bigr)x-2 = -x-2.
Logo
y'(x)=C_{1}(-2+\sqrt{6})e^{(-2+\sqrt{6})x}+C_{2}(-2-\sqrt{6})e^{(-2-\sqrt{6})x}-x-2.

Passo 13

Agora usamos y'(0)=0:
y'(0)=C_{1}(-2+\sqrt{6}) + C_{2}(-2-\sqrt{6}) - 2 = 0.
Isolando:
C_{1}(-2+\sqrt{6}) + C_{2}(-2-\sqrt{6}) = 2.
Juntando com C_{1}+C_{2}=\tfrac{11}{2}, temos o sistema linear
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\dfrac{11}{2},\\[6pt] C_{1}(-2+\sqrt{6})+C_{2}(-2-\sqrt{6})=2. \end{cases}]

Passo 14

Resolvemos o sistema. Subtraindo (-2-\sqrt{6}) vezes a primeira equação da segunda (ou seja, eliminando C_{2}):
Compute r_{1}=-2+\sqrt{6} e r_{2}=-2-\sqrt{6}. Então
C_{1}(r_{1}-r_{2}) = 2 - \frac{11}{2}r_{2}.
Como r_{1}-r_{2}=2\sqrt{6} e r_{2}=-2-\sqrt{6}, calculamos
2 - \frac{11}{2}r_{2} = 2 - \frac{11}{2}(-2-\sqrt{6}) = 2 +11 +\frac{11}{2}\sqrt{6} = 13 + \frac{11}{2}\sqrt{6}.
Portanto
C_{1}=\frac{13 + \tfrac{11}{2}\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}.
Fazendo a separação em termos mais simples,
C_{1}=\frac{11}{4}+\frac{13}{2\sqrt{6}}.

Passo 15

Usando C_{2}=\tfrac{11}{2}-C_{1} obtemos
C_{2}=\frac{11}{4}-\frac{13}{2\sqrt{6}}.
Essas duas expressões são equivalentes à solução do sistema; elas satisfazem tanto C_{1}+C_{2}=\tfrac{11}{2} quanto à segunda equação.

Passo 16

Substituímos C_{1} e C_{2} na solução geral para obter a solução do PVI:
y(x)=\left(\frac{11}{4}+\frac{13}{2\sqrt{6}}\right)e^{(-2+\sqrt{6})x}+\left(\frac{11}{4}-\frac{13}{2\sqrt{6}}\right)e^{(-2-\sqrt{6})x}-\frac{1}{2}x^{2}-2x-\frac{9}{2}.

Resposta

Solução geral:
y(x)=C_{1}e^{(-2+\sqrt{6})x}+C_{2}e^{(-2-\sqrt{6})x}-\frac{1}{2}x^{2}-2x-\frac{9}{2}.
Solução do PVI y(0)=1,\;y'(0)=0:
y(x)=\left(\frac{11}{4}+\frac{13}{2\sqrt{6}}\right)e^{(-2+\sqrt{6})x}+\left(\frac{11}{4}-\frac{13}{2\sqrt{6}}\right)e^{(-2-\sqrt{6})x}-\frac{1}{2}x^{2}-2x-\frac{9}{2}.

Exercícios relacionados