Mostre que a equação
representa uma esfera e determine seu centro e raio.
,
,
e R =
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: mostrar que a equação
representa uma esfera e determinar o centro e o raio dessa esfera.
Informações dadas: os termos quadráticos são e há termos lineares
e a constante
.
Informações dadas: os termos quadráticos são
Passo 2
Estratégia (o que vamos fazer): transformar a equação numa forma conhecida de esfera, que é
completando o quadrado em
, em
e em
. Vou explicar o que é completar o quadrado e por que funciona.
Passo 3
No geral, se temos um termo do tipo
, podemos reescrever assim:
Explicando: ao expandir
obtemos
. Então para recuperar
subtraímos
. Esse é o truque do completar o quadrado.
Passo 4
Aplicando esse truque ao termo em
: aqui
, então
porque
e
.
Passo 5
Aplicando ao termo em
: aqui
, então
pois
e
.
Passo 6
Aplicando ao termo em
: aqui
, então
pois
e
.
Passo 7
Agora substituímos as três identidades na equação original:
Passo 8
Somamos as constantes negativas do lado esquerdo:
. Assim:
Rearranjando:
Passo 9
Comparando com a forma padrão
, vemos que
e
Portanto a equação é mesmo de uma esfera, com centro e raio dados acima.
Resposta
C =
R =
R =