Mostre que a equação x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x-2 y-10 z-34=0 representa uma esfera e determine seu centro e raio.
\mathrm{C}=( \_\_\_\_ , \_\_\_\_ , \_\_\_\_ e R = \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x-2 y-10 z-34=0
representa uma esfera e determinar o centro e o raio dessa esfera.
Informações dadas: os termos quadráticos são \,x^{2},y^{2},z^{2}\, e há termos lineares \,4x,\,-2y,\,-10z e a constante -34.

Passo 2

Estratégia (o que vamos fazer): transformar a equação numa forma conhecida de esfera, que é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2},
completando o quadrado em x, em y e em z. Vou explicar o que é completar o quadrado e por que funciona.

Passo 3

No geral, se temos um termo do tipo x^{2}+bx, podemos reescrever assim:
x^{2}+bx=\bigl(x+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}.
Explicando: ao expandir \bigl(x+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2} obtemos x^{2}+bx+\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}. Então para recuperar x^{2}+bx subtraímos \bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}. Esse é o truque do completar o quadrado.

Passo 4

Aplicando esse truque ao termo em x: aqui b=4, então
x^{2}+4x=\bigl(x+2\bigr)^{2}-4,
porque \tfrac{b}{2}=\tfrac{4}{2}=2 e \bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}=4.

Passo 5

Aplicando ao termo em y: aqui b=-2, então
y^{2}-2y=\bigl(y-1\bigr)^{2}-1,
pois \tfrac{b}{2}=\tfrac{-2}{2}=-1 e \bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}=1.

Passo 6

Aplicando ao termo em z: aqui b=-10, então
z^{2}-10z=\bigl(z-5\bigr)^{2}-25,
pois \tfrac{b}{2}=\tfrac{-10}{2}=-5 e \bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}=25.

Passo 7

Agora substituímos as três identidades na equação original:
\bigl(x+2\bigr)^{2}-4 \;+\; \bigl(y-1\bigr)^{2}-1 \;+\; \bigl(z-5\bigr)^{2}-25 \;-\;34 \;=\;0.

Passo 8

Somamos as constantes negativas do lado esquerdo: -4-1-25-34=-(4+1+25+34)= -64. Assim:
\bigl(x+2\bigr)^{2}+\bigl(y-1\bigr)^{2}+\bigl(z-5\bigr)^{2}-64=0.
Rearranjando:
\bigl(x+2\bigr)^{2}+\bigl(y-1\bigr)^{2}+\bigl(z-5\bigr)^{2}=64.

Passo 9

Comparando com a forma padrão (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}, vemos que
a=-2,\qquad b=1,\qquad c=5
e
r^{2}=64\implies r=\sqrt{64}=8.
Portanto a equação é mesmo de uma esfera, com centro e raio dados acima.

Resposta

C = (-2,1,5)
R = 8

Exercícios relacionados