Encontrar a solução geral e resolver o PVI:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=e^{3 x} \\\ y(\pi / 2)=0 \\\ y^{\prime}(\pi / 2)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar a solução geral da equação diferencial e resolver o problema de valor inicial (PVI) dado. As informações fornecidas são:
\text{EDO: }y''+4y=e^{3x}
\text{condições: }y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad y'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.çõ
Não faço nada além de listar o que é pedido e os dados. Vou usar essas informações nos passos seguintes.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada (essa é a parte “complementar” da solução geral). A equação homogênea é
y''+4y=0.
A técnica básica aqui é procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+4=0.
Resolvendo:
r=\pm 2i.
Quando as raízes são complexas conjugadas a\pm bi com a=0 e b=2, a forma geral da solução complementar é
y_c(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Aqui expliquei por que aparece \cos(2x) e \sin(2x): é a consequência padrão das raízes puramente imaginárias da equação característica.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(x) para a equação não homogênea
y''+4y=e^{3x}.
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados. A regra prática: se o lado direito é uma função exponencial e^{\alpha x}, tentamos y_p=Ae^{\alpha x} (com A constante), desde que \alpha não seja raiz da equação característica. Aqui \alpha=3 e as raízes da característica são \pm 2i, portanto não há ressonância — podemos tentar diretamente
y_p(x)=A e^{3x},
onde A é um número real a determinar.

Passo 4

Calcule as derivadas de y_p:
y_p'(x)=3A e^{3x},\qquad y_p''(x)=9A e^{3x}.
Substituindo na equação:
y_p''+4y_p=(9A+4A)e^{3x}=13A e^{3x}.
Queremos que isso seja igual a e^{3x}. Assim:
13A e^{3x}=e^{3x}\quad\Longrightarrow\quad 13A=1\quad\Longrightarrow\quad A=\frac{1}{13}.
Portanto a solução particular é
y_p(x)=\frac{1}{13}e^{3x}.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é soma da complementar com a particular:
y(x)=y_c(x)+y_p(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+\frac{1}{13}e^{3x}.
Pronto — essa é a solução geral com constantes C_1,C_2.

Passo 6

Agora imponho as condições iniciais para determinar C_1 e C_2. Primeiro preciso da derivada y'(x). Derivando termo a termo:
y'(x)=-2C_1\sin(2x)+2C_2\cos(2x)+\frac{3}{13}e^{3x}.
Aqui usei que \frac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x) e \frac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x), e \frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}.

Passo 7

Avalio y e y' em x=\frac{\pi}{2}. Observe que 2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi, e sabemos \cos\pi=-1 e \sin\pi=0.
Para y:
y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=C_1\cos\pi + C_2\sin\pi + \frac{1}{13}e^{3\pi/2} = -C_1 + 0 + \frac{1}{13}e^{3\pi/2}.
A condição é y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0. Logo
-C_1+\frac{1}{13}e^{3\pi/2}=0\quad\Longrightarrow\quad C_1=\frac{1}{13}e^{3\pi/2}.

Passo 8

Para y':
y'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2C_1\sin\pi + 2C_2\cos\pi + \frac{3}{13}e^{3\pi/2} = 0 + 2C_2(-1) + \frac{3}{13}e^{3\pi/2}.
Então
y'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2C_2 + \frac{3}{13}e^{3\pi/2}.
A condição é y'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1. Substituindo:
-2C_2 + \frac{3}{13}e^{3\pi/2}=1.
Resolvo para C_2:
-2C_2 = 1 - \frac{3}{13}e^{3\pi/2}\quad\Longrightarrow\quad C_2=\frac{\frac{3}{13}e^{3\pi/2}-1}{2}.

Passo 9

Agora substituo C_1 e C_2 na solução geral para escrever a solução do PVI explicitamente. Assim a solução do PVI é
y(x)=\frac{1}{13}e^{3\pi/2}\cos(2x)+\frac{\frac{3}{13}e^{3\pi/2}-1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{13}e^{3x}.
Se quiser, dá para deixar C_2 em forma mais “limpa”, mas essa forma já é direta e correta.

Resposta

Solução geral: y(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+\dfrac{1}{13}e^{3x}\n
Solução do PVI: y(x)=\dfrac{1}{13}e^{3\pi/2}\cos(2x)+\dfrac{\tfrac{3}{13}e^{3\pi/2}-1}{2}\sin(2x)+\dfrac{1}{13}e^{3x}

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