Encontrar a solução geral e resolver o PVI: \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=e^{3 x} \\\ y(\pi / 2)=0 \\\ y^{\prime}(\pi / 2)=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar a solução geral da equação diferencial e resolver o problema de valor inicial (PVI) dado. As informações fornecidas são:
Não faço nada além de listar o que é pedido e os dados. Vou usar essas informações nos passos seguintes.
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada (essa é a parte “complementar” da solução geral). A equação homogênea é
y''+4y=0.
A técnica básica aqui é procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+4=0.
Resolvendo:
r=\pm 2i.
Quando as raízes são complexas conjugadas a\pm bi com a=0 e b=2, a forma geral da solução complementar é
y_c(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Aqui expliquei por que aparece \cos(2x) e \sin(2x): é a consequência padrão das raízes puramente imaginárias da equação característica.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular y_p(x) para a equação não homogênea
y''+4y=e^{3x}.
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados. A regra prática: se o lado direito é uma função exponencial e^{\alpha x}, tentamos y_p=Ae^{\alpha x} (com A constante), desde que \alpha não seja raiz da equação característica. Aqui \alpha=3 e as raízes da característica são \pm 2i, portanto não há ressonância — podemos tentar diretamente