Encontrar a solução geral da equação:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- A equação é linear e não homogênea;
- O termo não homogêneo (lado direito) é a soma de duas funções:
e .
Perguntas a responder: - Determinar a solução geral
da equação, ou seja, a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular apropriada.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada para achar a solução complementar (solução geral da homogênea).
A homogênea é
A homogênea é
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substitui-se
para obter a equação em
:
Resolver
por fatoração:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Explicação: cada raiz
dá um termo
.)
Passo 3
Escolher o método para obter uma solução particular: método dos coeficientes indeterminados (é apropriado porque o lado direito é soma de funções elementares do tipo polinômio vezes exponencial e funções trigonométricas).
Regra prática: para cada termo do lado direito escolhe-se uma forma teste (ansatz) similar, multiplicada por polinômios em quando houver coincidência com soluções da homogênea. Aqui:
Regra prática: para cada termo do lado direito escolhe-se uma forma teste (ansatz) similar, multiplicada por polinômios em
- Para o termo
: a parte exponencial é . Como NÃO é raiz da equação característica, não precisamos multiplicar o ansatz por . O polinômio multiplicador tem grau igual ao grau do polinômio do lado direito (aqui grau ), então tentamos
com
a determinar.
- Para o termo
: tentamos a combinação trigonométrica usual
com
a determinar.
A solução particular total será .
A solução particular total será
Passo 4
Encontrar
para o termo
.
Definir
Calcular derivadas passo a passo (uso da regra do produto):
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora aplicar o lado esquerdo da equação
sobre
:
Fatorando
e agrupando termos:
Esse resultado deve igualar ao termo correspondente do lado direito, que é
. Igualando coeficientes do polinômio multiplicando
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente do termo constante vezes
: .
Resolver o sistema:
Substituindo em
:
Portanto
Passo 5
Encontrar [y_{p2}) para o termo
.
Definir
Calcular derivadas:
Aplicar
:
Distribuir o
e agrupar termos em
e
:
Esse deve ser igual ao termo direito correspondente
, ou seja
Igualando coeficientes obtemos o sistema linear
Resolver: da segunda equação
.
Portanto
Portanto
Passo 6
Formar a solução particular total e a solução geral.
A solução particular é
Somando com a solução homogênea obtemos a solução geral:
onde
e
são constantes arbitrárias.