Encontrar a solução geral da equação: y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=x e^{x}+2 \cos (2 x).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-4y'=x e^{x}+2\cos(2x).
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A equação é linear e não homogênea;
  • O termo não homogêneo (lado direito) é a soma de duas funções: \;x e^{x}\; e \;2\cos(2x)\;.
    Perguntas a responder:
  • Determinar a solução geral y(x) da equação, ou seja, a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular apropriada.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada para achar a solução complementar (solução geral da homogênea).
A homogênea é
y''-4y'=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substitui-se y=e^{rx} para obter a equação em r:
r^{2}-4r=0.
Resolver r^{2}-4r=0 por fatoração:
r(r-4)=0\quad\Rightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=4.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}e^{0\cdot x}+C_{2}e^{4x}=C_{1}+C_{2}e^{4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Explicação: cada raiz r dá um termo e^{rx}.)

Passo 3

Escolher o método para obter uma solução particular: método dos coeficientes indeterminados (é apropriado porque o lado direito é soma de funções elementares do tipo polinômio vezes exponencial e funções trigonométricas).
Regra prática: para cada termo do lado direito escolhe-se uma forma teste (ansatz) similar, multiplicada por polinômios em x quando houver coincidência com soluções da homogênea. Aqui:
  • Para o termo \;x e^{x}\;: a parte exponencial é e^{x}. Como r=1 NÃO é raiz da equação característica, não precisamos multiplicar o ansatz por x. O polinômio multiplicador tem grau igual ao grau do polinômio do lado direito (aqui grau 1), então tentamos
y_{p1}(x)=(A x + B)e^{x},
com A,B a determinar.
  • Para o termo \;2\cos(2x)\;: tentamos a combinação trigonométrica usual
y_{p2}(x)=C\cos(2x)+D\sin(2x),
com C,D a determinar.
A solução particular total será y_p=y_{p1}+y_{p2}.

Passo 4

Encontrar y_{p1} para o termo x e^{x}.
Definir
y_{p1}=(A x + B)e^{x}.
Calcular derivadas passo a passo (uso da regra do produto):
Primeira derivada:
y'_{p1}=\frac{d}{dx}\big((A x + B)e^{x}\big)=A e^{x}+(A x + B)e^{x}=(A x + (A+B))e^{x}.
Segunda derivada:
y''_{p1}=\frac{d}{dx}\big((A x + (A+B))e^{x}\big)=A e^{x}+(A x + (A+B))e^{x}=(A x + (2A+B))e^{x}.
Agora aplicar o lado esquerdo da equação L[y]=y''-4y' sobre y_{p1}:
L[y_{p1}]=\big(A x + (2A+B)\big)e^{x}-4\big(A x + (A+B)\big)e^{x}.
Fatorando e^{x} e agrupando termos:
L[y_{p1}]=\big(A x +2A+B-4A x -4A -4B\big)e^{x}=\big(-3A x +(-2A-3B)\big)e^{x}.
Esse resultado deve igualar ao termo correspondente do lado direito, que é x e^{x}. Igualando coeficientes do polinômio multiplicando e^{x}:
  • Coeficiente de x e^{x}: -3A = 1.
  • Coeficiente do termo constante vezes e^{x}: -2A-3B = 0.
Resolver o sistema:
-3A=1\quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{3}.
Substituindo em -2A-3B=0:
-2\big(-\tfrac{1}{3}\big)-3B=0\quad\Rightarrow\quad \tfrac{2}{3}-3B=0\quad\Rightarrow\quad 3B=\tfrac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{2}{9}.
Portanto
y_{p1}(x)=\Big(-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{9}\Big)e^{x}.

Passo 5

Encontrar [y_{p2}) para o termo 2\cos(2x).
Definir
y_{p2}=C\cos(2x)+D\sin(2x).
Calcular derivadas:
y'_{p2}=-2C\sin(2x)+2D\cos(2x),
y''_{p2}=-4C\cos(2x)-4D\sin(2x).
Aplicar L[y]=y''-4y':
L[y_{p2}]=(-4C\cos(2x)-4D\sin(2x))-4(-2C\sin(2x)+2D\cos(2x)).
Distribuir o -4 e agrupar termos em \cos(2x) e \sin(2x):
L[y_{p2}]=(-4C-8D)\cos(2x)+(-4D+8C)\sin(2x).
Esse deve ser igual ao termo direito correspondente 2\cos(2x), ou seja
(-4C-8D)\cos(2x)+(-4D+8C)\sin(2x)=2\cos(2x)+0\cdot\sin(2x).
Igualando coeficientes obtemos o sistema linear
\begin{cases} -4C-8D=2,\\[4pt] -4D+8C=0. \end{cases}
Resolver: da segunda equação 8C-4D=0\Rightarrow 2C-D=0\Rightarrow D=2C\]. Substituir na primeira: \[-4C-8(2C)=2\quad\Rightarrow\quad -4C-16C=2\quad\Rightarrow\quad -20C=2\quad\Rightarrow\quad C=-\tfrac{1}{10}.\] Então \(D=2C=-\tfrac{1}{5}.
Portanto
y_{p2}(x)=-\tfrac{1}{10}\cos(2x)-\tfrac{1}{5}\sin(2x).]

Passo 6

Formar a solução particular total e a solução geral.
A solução particular é
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=\Big(-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{9}\Big)e^{x}-\tfrac{1}{10}\cos(2x)-\tfrac{1}{5}\sin(2x).
Somando com a solução homogênea obtemos a solução geral:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}+C_{2}e^{4x}+\Big(-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{9}\Big)e^{x}-\tfrac{1}{10}\cos(2x)-\tfrac{1}{5}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{4x}+\Big(-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{9}\Big)e^{x}-\tfrac{1}{10}\cos(2x)-\tfrac{1}{5}\sin(2x)

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