Q11. Encontre a solução do PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-y^{\prime}=x e^{x} \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-y^{\prime}=x e^{x},\\[4pt] y(0)=0,\quad y^{\prime}(0)=1. \end{array}\right.
Informações dadas:
  • Equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea: \,y''-y'=x e^{x}\,.
  • Condições iniciais: \,y(0)=0\, e \,y'(0)=1\,.
    A tarefa é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada (ou seja, com lado direito zero) para obter a solução geral da parte homogênea.
A equação homogênea é
y''-y'=0.
Procuramos soluções da forma \,y=e^{r x}\,. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^{2}-r=0 \quad\Rightarrow\quad r(r-1)=0,
portanto as raízes são r=0 e r=1. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}+C_{2}e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(x) da equação não homogênea
y''-y'=x e^{x}.
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados (aquele em que chutamos uma forma para y_p baseada no lado direito). O lado direito é da forma P(x)e^{a x} com P(x)=x (polinômio de grau 1) e a=1.
Quando e^{ax} (aqui e^{x}) aparece nas soluções da homogênea (temos e^{x} em y_h), é necessário multiplicar o palpite por x^{m}, onde m é a multiplicidade da raiz r=a do polinômio característico. A raiz r=1 é simples (multiplicidade m=1). Assim, o palpite para y_p é
y_p(x)=x^{m}e^{x}\cdot(\text{polinômio do mesmo grau de }P).ô
Como m=1 e P tem grau 1, escolhemos
y_p(x)=e^{x}\big(A x^{2}+B x\big),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos y_p' e y_p'' para substituir na equação. Começando por
y_p(x)=e^{x}\big(A x^{2}+B x\big).
Derivando (produto de e^{x} por um polinômio):
y_p'(x)=e^{x}\big(A x^{2}+B x\big)+e^{x}\big(2A x+B\big) = e^{x}\big(A x^{2}+(B+2A)x+B\big).
Outra derivada:
y_p''(x)=e^{x}\big(A x^{2}+(B+2A)x+B\big)+e^{x}\big(2A x+(B+2A)\big).
Somando os termos dentro do colchete:
y_p''(x)=e^{x}\big(A x^{2}+(B+4A)x+(2B+2A)\big).

Passo 5

Agora formamos a combinação y_p''-y_p' e igualamos ao lado direito x e^{x}.
y_p''-y_p' = e^{x}\big(A x^{2}+(B+4A)x+(2B+2A)\big) - e^{x}\big(A x^{2}+(B+2A)x+B\big).
Cancelam-se os termos A x^{2}. Fazendo a subtração no interior:
y_p''-y_p' = e^{x}\big(2A x + (B+2A)\big).
Devemos ter
e^{x}\big(2A x + (B+2A)\big)=x e^{x}.
Cancelando e^{x} (não é zero), obtemos a identidade polinomial
2A x + (B+2A)=x.
Igualando coeficientes do polinômio em x:
  • Coeficiente de x: 2A=1 \Rightarrow A=\dfrac{1}{2}.
  • Constante: B+2A=0 \Rightarrow B=-2A=-1.

Passo 6

Com A=\dfrac{1}{2} e B=-1, a solução particular é
y_p(x)=e^{x}\left(\tfrac{1}{2}x^{2}-x\right).
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}+e^{x}\left(\tfrac{1}{2}x^{2}-x\right).
Podemos agrupar termos com e^{x}:
y(x)=C_{1}+e^{x}\!\left(C_{2}+\tfrac{1}{2}x^{2}-x\right).

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro, em x=0:
y(0)=C_{1}+e^{0}\!\left(C_{2}+0-0\right)=C_{1}+C_{2}=0.
Logo
C_{1}=-C_{2}.
Agora calculamos y'(x). Diferenciando a forma agrupada:
y'(x)=\frac{d}{dx}\Big(C_{1}\Big)+\frac{d}{dx}\Big(e^{x}(C_{2}+\tfrac{1}{2}x^{2}-x)\Big) = e^{x}\big(C_{2}+\tfrac{1}{2}x^{2}-x\big)+e^{x}\big(x-1\big).
Somando os termos:
y'(x)=e^{x}\big(C_{2}+\tfrac{1}{2}x^{2}-1\big).
Em x=0:
y'(0)=e^{0}\big(C_{2}+0-1\big)=C_{2}-1.
A condição y'(0)=1
C_{2}-1=1 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=2.
Então C_{1}=-C_{2}=-2.

Passo 8

Substituindo C_{1}=-2 e C_{2}=2 na solução geral, obtemos a solução do PVI:
y(x)=-2+e^{x}\!\left(2+\tfrac{1}{2}x^{2}-x\right).
Se preferir expandir:
y(x)=-2+2e^{x} + \tfrac{1}{2}x^{2}e^{x} - x e^{x}.

Resposta

y(x)=-2+e^{x}\!\left(2+\dfrac{1}{2}x^{2}-x\right)

Exercícios relacionados