Q11. Encontre a solução do PVI
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas:
- Equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea:
. - Condições iniciais:
e .
A tarefa é encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada (ou seja, com lado direito zero) para obter a solução geral da parte homogênea.
A equação homogênea é
A equação homogênea é
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos o polinômio característico
portanto as raízes são
e
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação não homogênea
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados (aquele em que chutamos uma forma para
baseada no lado direito). O lado direito é da forma
com
(polinômio de grau
) e
.
Quando (aqui
) aparece nas soluções da homogênea (temos
em
), é necessário multiplicar o palpite por
, onde
é a multiplicidade da raiz
do polinômio característico. A raiz
é simples (multiplicidade
). Assim, o palpite para
é
Quando
Como
e
tem grau
, escolhemos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos
e
para substituir na equação. Começando por
Derivando (produto de
por um polinômio):
Outra derivada:
Somando os termos dentro do colchete:
Passo 5
Agora formamos a combinação
e igualamos ao lado direito
.
Cancelam-se os termos
. Fazendo a subtração no interior:
Devemos ter
Cancelando
(não é zero), obtemos a identidade polinomial
Igualando coeficientes do polinômio em
:
- Coeficiente de
: . - Constante:
.
Passo 6
Com
e
, a solução particular é
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Podemos agrupar termos com
:
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro, em
:
Logo
Agora calculamos
. Diferenciando a forma agrupada:
Somando os termos:
Em
:
A condição
dá
Então
.
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução do PVI:
Se preferir expandir: