Encontre a solução geral da equação
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{t} \cos t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=e^{t}\cos t.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é e^{t}\cos t.
    O objetivo é encontrar a solução geral y(t), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=0.
Formamos a equação característica associada substituindo y=e^{rt}:
r^{2}+2r+2=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i.
Explicação do que isso significa: quando as raízes são complexas r=-1\pm i, a solução real geral da homogênea é da forma
y_h(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big),
onde \alpha é a parte real da raiz e \beta é a parte imaginária positiva. Aqui \alpha=-1 e \beta=1. Portanto
y_h(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Procurar uma solução particular y_p para a equação não-homogênea. Ideia e justificativa didática: como o termo forçante é e^{t}\cos t, é prático usar a técnica da complexificação — escrever e^{t}\cos t como a parte real de e^{(1+i)t}. Se encontrarmos Y(t)=A e^{(1+i)t} (com A complexo) tal que o operador linear aplicado em Y produz e^{(1+i)t}, então a parte real de Y é uma solução particular real da equação original.
Aplicando o operador linear L[y]=y''+2y'+2y a e^{rt} obtemos
L[e^{rt}]=(r^{2}+2r+2)e^{rt}.
Então para r=1+i queremos um A tal que
A\big((1+i)^{2}+2(1+i)+2\big)e^{(1+i)t}=e^{(1+i)t}.
Assim A deve satisfazer
A\cdot P = 1,\qquad P=(1+i)^{2}+2(1+i)+2.
Calculemos P passo a passo:
(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=1+2i-1=2i,
2(1+i)=2+2i,
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P=2i+(2+2i)+2=(2+2)+ (2i+2i)=4+4i.
Portanto
A=\frac{1}{4+4i}=\frac{1}{4(1+i)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1-i}{2}=\frac{1-i}{8}.
Escrevendo A=a+ib com a=\tfrac{1}{8} e b=-\tfrac{1}{8}, a solução complexa candidata é
Y(t)=A e^{(1+i)t}=A e^{t}(\cos t + i\sin t).
A parte real de Y é a solução particular real. Vamos extrair a parte real explicitamente. Primeiro calcule a combinação:
A(\cos t + i\sin t)=(a+ib)(\cos t + i\sin t).
Multiplicando e separando parte real:
(a+ib)(\cos t + i\sin t)=(a\cos t - b\sin t) + i(b\cos t + a\sin t).
A parte real é a\cos t - b\sin t. Com a=\tfrac{1}{8} e b=-\tfrac{1}{8} obtemos
a\cos t - b\sin t=\frac{1}{8}\cos t -\big(-\frac{1}{8}\big)\sin t=\frac{1}{8}(\cos t + \sin t).
Logo a solução particular real é
y_p(t)=e^{t}\cdot\frac{1}{8}(\cos t + \sin t)=\frac{e^{t}}{8}(\cos t + \sin t).

Passo 4

Combinar a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral. A solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big)+\frac{e^{t}}{8}(\cos t + \sin t),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big)+\frac{e^{t}}{8}(\cos t + \sin t)

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