Encontre a solução geral da equação
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
.
O objetivo é encontrar a solução geral, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Formamos a equação característica associada substituindo
:
Resolvendo a quadrática:
Explicação do que isso significa: quando as raízes são complexas
, a solução real geral da homogênea é da forma
onde
é a parte real da raiz e
é a parte imaginária positiva. Aqui
e
. Portanto
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Procurar uma solução particular
para a equação não-homogênea. Ideia e justificativa didática: como o termo forçante é
, é prático usar a técnica da complexificação — escrever
como a parte real de
. Se encontrarmos
(com
complexo) tal que o operador linear aplicado em
produz
, então a parte real de
é uma solução particular real da equação original.
Aplicando o operador linear
a
obtemos
Então para
queremos um
tal que
Assim
deve satisfazer
Calculemos
passo a passo:
logo
Portanto
Escrevendo
com
e
, a solução complexa candidata é
A parte real de
é a solução particular real. Vamos extrair a parte real explicitamente. Primeiro calcule a combinação:
Multiplicando e separando parte real:
A parte real é
. Com
e
obtemos
Logo a solução particular real é
Passo 4
Combinar a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral. A solução geral é
com
constantes arbitrárias.