Q12. Nos seguintes exercícios verificar que as y_{1} dadas são soluções das equações dadas e encontre uma solução linearmente independentes com \mathfrak{y}_{1}.
(a) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0 ; \quad y_{1}(x)=e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' - 2y' + y = 0
e fornece a função y_{1}(x)=e^{x}. O que pede:
  • Verificar que \,y_{1}(x)=e^{x}\, é solução da equação.
  • Encontrar uma segunda solução y_{2}(x) que seja linearmente independente de \,y_{1}.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é homogênea e linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Foi dada uma solução particular y_{1}(x)=e^{x}.

Passo 2

Primeiro vamos verificar explicitamente que y_{1}(x)=e^{x} satisfaz a equação. Para isso precisamos das derivadas de y_{1}.
Calcule as derivadas:
y_{1}'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, \qquad y_{1}''(x)=\frac{d^{2}}{dx^{2}}e^{x}=e^{x}.
Substituindo na equação diferencial:
y_{1}'' - 2y_{1}' + y_{1} = e^{x} - 2e^{x} + e^{x} = (1-2+1)e^{x}=0\!.
Como o resultado é 0 para todo x, concluímos que \,y_{1}(x)=e^{x}\, é de fato uma solução da equação.

Passo 3

Agora vamos encontrar uma segunda solução linearmente independente. Há dois caminhos simples aqui: (A) método do polinômio característico (já que os coeficientes são constantes) ou (B) redução de ordem (método geral que funciona quando uma solução é conhecida). Vou mostrar os dois, porque é bom saber para a prova.
(A) Método do polinômio característico — ideia e aplicação:
  • Para equações lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma \,y=e^{rx}\,, onde r é número a determinar.
  • Substituindo y=e^{rx} em \,y''-2y'+y=0 gera o polinômio característico em r:
r^{2}-2r+1=0.
  • Resolver essa equação quadrática:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad r=1 \text{ (raiz dupla).}
Quando a raiz r do polinômio característico tem multiplicidade 2 (raiz dupla), a teoria diz que as duas soluções independentes associadas são
\,e^{rx}\, e \,x e^{rx}\,. Como r=1, as soluções são e^{x} e x e^{x}. Portanto uma segunda solução independente é
\,y_{2}(x)=x e^{x}.

Passo 4

(B) Redução de ordem — justificativa direta (método geral):
  • Suponha y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x)=v(x)e^{x} com v função desconhecida.
  • Calcule y_{2}' e y_{2}'':
y_{2}'=v'e^{x}+v e^{x},\qquad y_{2}''=v''e^{x}+2v'e^{x}+v e^{x}.
  • Substituindo na equação:
y_{2}''-2y_{2}'+y_{2}=(v''e^{x}+2v'e^{x}+v e^{x})-2(v'e^{x}+v e^{x})+v e^{x}.
Agrupando termos:
= v''e^{x} + (2v'-2v')e^{x} + (v-2v+v)e^{x} = v''e^{x}.
  • Para que y_{2} seja solução, precisamos de v''e^{x}=0, ou seja v''=0. Integrando duas vezes:
v'(x)=A \quad\Rightarrow\quad v(x)=Ax+B.
  • A parte constante B apenas reproduz múltiplos de y_{1} (porque B e^{x}=B y_{1}), então para obter uma segunda solução independente escolhemos v(x)=x. Assim
y_{2}(x)=x e^{x}.
Essa dedução mostra por que, no caso de raiz dupla, aparece o fator x.

Passo 5

Verificação direta de que y_{2}(x)=x e^{x} satisfaz a equação (checar na prova sempre ajuda):
Calcule derivadas:
y_{2}'(x)=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x), \qquad y_{2}''(x)=e^{x}+e^{x}(1+x)=e^{x}(2+x).
Substituindo:
y_{2}''-2y_{2}'+y_{2}=e^{x}(2+x)-2e^{x}(1+x)+x e^{x}.
Fatorando e^{x}:
e^{x}\bigl(2+x-2-2x+x\bigr)=e^{x}\cdot 0=0.
Logo y_{2} é solução também.

Passo 6

Mostrar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes — usando o Wronskiano:
  • Definição: para duas funções y_{1},y_{2} o Wronskiano é
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
  • Calcule para y_{1}=e^{x} e y_{2}=x e^{x}:
W(y_{1},y_{2})(x)=e^{x}\cdot e^{x}(1+x)-e^{x}\cdot x e^{x}=e^{2x}(1+x-x)=e^{2x}.
Como e^{2x}\neq 0 para todo x, o Wronskiano é não nulo em todos os pontos, portanto y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.]

Passo 7

Conclusão e forma geral da solução:
  • Confirmado: \,y_{1}(x)=e^{x}\, é solução.
  • Uma solução linearmente independente é \,y_{2}(x)=x e^{x}\,.
  • A solução geral da equação é
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y_{1}(x)=e^{x} é solução da equação.
Uma solução linearmente independente é y_{2}(x)=x e^{x}.
Solução geral: y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}.

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