Q12. Nos seguintes exercícios verificar que as y_{1} dadas são soluções das equações dadas e encontre uma solução linearmente independentes com \mathfrak{y}_{1}.
(a) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0 ; \quad y_{1}(x)=e^{x}.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y'' - 2y' + y = 0
e fornece a função y_{1}(x)=e^{x}. O que pede:
Verificar que \,y_{1}(x)=e^{x}\, é solução da equação.
Encontrar uma segunda solução y_{2}(x) que seja linearmente independente de \,y_{1}.
Informações relevantes dadas:
A equação é homogênea e linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Foi dada uma solução particular y_{1}(x)=e^{x}.
Passo 2
Primeiro vamos verificar explicitamente que y_{1}(x)=e^{x} satisfaz a equação. Para isso precisamos das derivadas de y_{1}.
Como o resultado é 0 para todo x, concluímos que \,y_{1}(x)=e^{x}\, é de fato uma solução da equação.
Passo 3
Agora vamos encontrar uma segunda solução linearmente independente. Há dois caminhos simples aqui: (A) método do polinômio característico (já que os coeficientes são constantes) ou (B) redução de ordem (método geral que funciona quando uma solução é conhecida). Vou mostrar os dois, porque é bom saber para a prova.
(A) Método do polinômio característico — ideia e aplicação:
Para equações lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma \,y=e^{rx}\,, onde r é número a determinar.
Substituindo y=e^{rx} em \,y''-2y'+y=0 gera o polinômio característico em r:
Quando a raiz r do polinômio característico tem multiplicidade 2 (raiz dupla), a teoria diz que as duas soluções independentes associadas são \,e^{rx}\, e \,x e^{rx}\,. Como r=1, as soluções são e^{x} e x e^{x}. Portanto uma segunda solução independente é \,y_{2}(x)=x e^{x}.
Passo 4
(B) Redução de ordem — justificativa direta (método geral):
Suponha y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x)=v(x)e^{x} com v função desconhecida.
Para que y_{2} seja solução, precisamos de v''e^{x}=0, ou seja v''=0. Integrando duas vezes:
v'(x)=A \quad\Rightarrow\quad v(x)=Ax+B.
A parte constante B apenas reproduz múltiplos de y_{1} (porque B e^{x}=B y_{1}), então para obter uma segunda solução independente escolhemos v(x)=x. Assim
y_{2}(x)=x e^{x}.
Essa dedução mostra por que, no caso de raiz dupla, aparece o fator x.
Passo 5
Verificação direta de que y_{2}(x)=x e^{x} satisfaz a equação (checar na prova sempre ajuda):