Encontrar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem homogênea
y' - 3y = 0.
Esse tipo de equação, com coeficiente constante, pode ser resolvido por separação de variáveis ou reconhecendo diretamente que a razão y'/y é constante.

Passo 2

Reescrevendo a equação de modo a separar y e x, tem-se
\frac{y'}{y} = 3.
Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{y'}{y}\,dx = \int 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|y\bigr| = 3x + C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 3

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a exponencial em ambos os lados:
\bigl|y\bigr| = e^{3x + C_1} = e^{C_1}\,e^{3x}.
Chamando C = \pm e^{C_1}, que é uma constante real arbitrária, obtemos
y(x) = C\,e^{3x}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = C\,e^{3x},
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração.

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