Verificar se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada:
y^{\prime \prime}-4 y=0 ; \quad y_{1}(t)=e^{2 t} e y_{2}(t)=\cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções \,y_1(t)=e^{2t} e \,y_2(t)=\cos2t
satisfazem a equação diferencial linear homogênea
y''-4y=0.
Para isso, basta calcular as derivadas de cada função e substituir na equação, conferindo se o resultado é identicamente zero.

Passo 2

Vamos a \,y_1(t)=e^{2t}.
Calculemos as derivadas:
y_1'(t)=2e^{2t},\qquad y_1''(t)=4e^{2t}.
Substituindo em \,y''-4y temos
y_1''-4y_1 =4e^{2t}-4\,e^{2t} =0,
portanto \,y_1(t)=e^{2t} é solução da equação.

Passo 3

Agora \,y_2(t)=\cos2t.
As derivadas são
y_2'(t)=-2\sin2t,\qquad y_2''(t)=-4\cos2t.
Substituindo em \,y''-4y obtém-se
y_2''-4y_2 =-4\cos2t-4\cos2t =-8\cos2t\neq0,
logo \,y_2(t)=\cos2t não satisfaz a equação.

Resposta

\,y_1(t)=e^{2t} é solução de y''-4y=0, enquanto \,y_2(t)=\cos2t não é solução.

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