Classificar cada uma das equações diferenciais dadas:
\frac{d y}{d x}-y=x^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} - y = x^{3}
e pede para classificá-la segundo ordem, linearidade, homogeneidade e tipo de coeficientes. Vamos usar os conceitos de EDO (equação diferencial ordinária), linearidade (presença de y e suas derivadas em 1ª potência), termo não homogêneo e coeficientes constantes.

Passo 2

Determinar a ordem: o maior índice de derivada que aparece é \frac{dy}{dx}, portanto é uma equação de primeira ordem.

Passo 3

Verificar linearidade: escrevendo em forma padrão
\frac{dy}{dx} + (-1)\,y = x^{3},
nem \frac{dy}{dx} nem y aparecem elevados a potências diferentes de 1, nem multiplicados entre si. Logo, é linear.

Passo 4

Classificar quanto à homogeneidade: o termo independente Q(x)=x^{3} é diferente de zero, então a equação é não homogênea.

Passo 5

Analisar os coeficientes: o coeficiente de y é a constante -1 e não há função variável multiplicando y. Logo, os coeficientes são constantes.

Passo 6

Checar autonomia: como há dependência explícita em x pelo termo x^{3}, não se trata de uma EDO autônoma.

Resposta

É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, não homogênea, com coeficientes constantes e não autônoma.

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