Encontrar a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais homogêneos.
\dot{x}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 2\end{array}\right) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
\dot{x} = A\,x, \quad A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 3 & 2\end{pmatrix}.
O método é encontrar os autovalores de A pela equação característica, depois os autovetores correspondentes, e por fim montar a combinação linear de soluções exponenciais.]

Passo 2

Calculamos a equação característica de A como
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[4pt] 3 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(2-\lambda)-6.
Expandindo,
(1-\lambda)(2-\lambda)-6 =\lambda^2 -3\lambda -4 =0.
As raízes são
\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2},
logo \lambda_1 = 4 e \lambda_2 = -1.]

Passo 3

Para \lambda_1 = 4, resolvemos (A - 4I)v = 0:
\begin{pmatrix}-3 & 2 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\[3pt] v_2\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; -3v_1 + 2v_2 = 0 \;\Longrightarrow\; v_2 = \tfrac{3}{2}v_1.
Podemos escolher v^{(1)} = (2,3)^{T}.
Para \lambda_2 = -1, resolvemos (A + I)w = 0:
\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1 \\[3pt] w_2\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; 2w_1 + 2w_2 = 0 \;\Longrightarrow\; w_2 = -w_1.
Escolhemos v^{(2)} = (1,-1)^{T}.]

Passo 4

Cada autovalor gera uma solução fundamental do sistema:
x^{(1)}(t) = e^{4t}\begin{pmatrix}2 \\[3pt] 3\end{pmatrix}, \quad x^{(2)}(t) = e^{-t}\begin{pmatrix}1 \\[3pt] -1\end{pmatrix}.
Assim, a solução geral é a combinação linear dessas duas soluções independentes.]

Resposta

A solução geral é
x(t) = C_1\,e^{4t}\begin{pmatrix}2 \\[3pt] 3\end{pmatrix} + C_2\,e^{-t}\begin{pmatrix}1 \\[3pt] -1\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.]

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