Resolva os seguntes sistemas usando transformada de Laplace.
d) \left\{\begin{array}{l}\dot{x}=5 x-6 y+\delta(t-1) \\\ \dot{y}=x \\\ x(0)=1, \quad y(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema
\begin{cases} \dot{x}(t)=5x(t)-6y(t)+\delta(t-1),\\\ \dot{y}(t)=x(t),\\\ x(0)=1,\quad y(0)=0, \end{cases}
usando transformada de Laplace. Vamos transformar cada equação no domínio s, resolver para X(s) e Y(s), e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Tomando Laplace em \dot{x} e em \dot{y}, lembrando que \mathcal{L}\{\delta(t-1)\}=e^{-s}, obtemos
sX(s)-x(0)=5X(s)-6Y(s)+e^{-s},
sY(s)-y(0)=X(s).
Substituindo x(0)=1 e y(0)=0, fica
sX(s)-1=5X(s)-6Y(s)+e^{-s},
sY(s)=X(s).

Passo 3

Da segunda equação temos
Y(s)=\frac{X(s)}{s}.
Substituindo na primeira:
sX(s)-1=5X(s)-6\frac{X(s)}{s}+e^{-s} \;\Longrightarrow\; \bigl(s-5+\tfrac{6}{s}\bigr)X(s)=1+e^{-s}.
Note que
s-5+\frac{6}{s}=\frac{s^2-5s+6}{s}=\frac{(s-2)(s-3)}{s},
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X(s)=\frac{s}{(s-2)(s-3)}\bigl(1+e^{-s}\bigr).
Decompondo
\frac{s}{(s-2)(s-3)}=-\frac{2}{s-2}+\frac{3}{s-3},
temos
X(s)=\Bigl(-\frac{2}{s-2}+\frac{3}{s-3}\Bigr)\bigl(1+e^{-s}\bigr).

Passo 4

Aplicando a transformada inversa, lembrando que o fator e^{-s} gera um deslocamento de 1 em t com o passo de Heaviside u(t-1):
Parte não deslocada:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(-\frac{2}{s-2}+\frac{3}{s-3}\Bigr) =-2e^{2t}+3e^{3t}.
Parte deslocada:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl[\Bigl(-\frac{2}{s-2}+\frac{3}{s-3}\Bigr)e^{-s}\Bigr] =\bigl(-2e^{2(t-1)}+3e^{3(t-1)}\bigr)\,u(t-1).
Portanto
x(t)=-2e^{2t}+3e^{3t} +\bigl(-2e^{2(t-1)}+3e^{3(t-1)}\bigr)u(t-1).

Passo 5

Para Y(s)=X(s)/s, escrevemos
\frac{X(s)}{s} =\Bigl(-\frac{2}{s-2}+\frac{3}{s-3}\Bigr)\frac{1+e^{-s}}{s}.
Decompondo a parte não deslocada:
\Bigl(-\frac{2}{s-2}+\frac{3}{s-3}\Bigr)\frac{1}{s} =-\frac{1}{s-2}+\frac{1}{s-3},
cuja inversa é
y_{\rm hom}(t)=-e^{2t}+e^{3t}.
A parte deslocada dá
\bigl[-e^{2(t-1)}+e^{3(t-1)}\bigr]\,u(t-1).
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y(t)=-e^{2t}+e^{3t} +\bigl(-e^{2(t-1)}+e^{3(t-1)}\bigr)u(t-1).

Resposta

x(t)=-2e^{2t}+3e^{3t} +\bigl(-2e^{2(t-1)}+3e^{3(t-1)}\bigr)u(t-1),
y(t)=-e^{2t}+e^{3t} +\bigl(-e^{2(t-1)}+e^{3(t-1)}\bigr)u(t-1).

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