Encontrar a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais homogêneos.
\dot{x}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
\dot{x} = A x, \quad A = \begin{pmatrix}1 & -1\\[6pt]1 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é resolução de sistemas via autovalores e autovetores: vamos calcular o polinômio característico de A, achar seus autovalores e autovetores, e então montar a solução real.]

Passo 2

O polinômio característico de A é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^2 + 1 = \lambda^2 - 2\lambda + 2.
Resolvendos
\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 1 \pm i.]

Passo 3

Para \lambda_1 = 1 + i, resolvemos (A - \lambda_1 I)v = 0:
\begin{pmatrix}-i & -1\\[4pt]1 & -i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\[3pt]v_2\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; -i\,v_1 - v_2 = 0 \;\Longrightarrow\; v_2 = -i\,v_1.
Escolhendo v_1 = 1, um autovetor correspondente é
v = \begin{pmatrix}1\\[3pt]-i\end{pmatrix}.]

Passo 4

Uma solução complexa do sistema é
x_c(t) = e^{\lambda_1 t}\,v = e^{(1+i)t}\begin{pmatrix}1\\[3pt]-i\end{pmatrix} = e^t(\cos t + i\sin t)\begin{pmatrix}1\\[3pt]-i\end{pmatrix}.
Multiplicando e separando parte real e imaginária, obtemos duas soluções reais independentes:
x_1(t) = \Re(x_c(t)) = e^t\begin{pmatrix}\cos t\\[3pt]\sin t\end{pmatrix}, \quad x_2(t) = \Im(x_c(t)) = e^t\begin{pmatrix}\sin t\\[3pt]-\cos t\end{pmatrix}.]

Resposta

A solução geral real do sistema é
x(t) = C_1\,e^t\begin{pmatrix}\cos t\\[3pt]\sin t\end{pmatrix} \;+\; C_2\,e^t\begin{pmatrix}\sin t\\[3pt]-\cos t\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.]

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