Encontrar a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais homogêneos.
\dot{x}=\left(\begin{array}{cc}-4 & -1 \\\\ 1 & -2\end{array}\right) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo com coeficientes constantes
\dot{x} = A\,x,
onde
A = \begin{pmatrix}-4 & -1\\[6pt]1 & -2\end{pmatrix}.
O método que vamos usar é a decomposição em autovalores e autovetores, recorrendo também a vetores generalizados porque o autovalor será duplo.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0:
\det\!\begin{pmatrix}-4-\lambda & -1 \\[3pt]1 & -2-\lambda\end{pmatrix} =(\lambda+4)(\lambda+2)+1 =\lambda^2+6\lambda+9 =0.
Logo
\lambda^2+6\lambda+9=(\lambda+3)^2=0
e o único autovalor é \lambda=-3 de multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Buscamos o(s) autovetor(es) resolvendo (A+3I)v=0:
A+3I=\begin{pmatrix}-1 & -1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}-1 & -1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[3pt]v_2\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha vem -v_1-v_2=0, ou seja v_1=-v_2. Podemos escolher
v=\begin{pmatrix}1\\[3pt]-1\end{pmatrix}.
Como só apareceu um autovetor, a multiplicidade geométrica é 1 (<2) e a matriz é defeituosa.]

Passo 4

Procuramos um vetor generalizado w tal que (A+3I)w=v. Escrevendo
\begin{pmatrix}-1 & -1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1\\[3pt]w_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[3pt]-1\end{pmatrix},
basta resolver w_1+w_2=-1. Uma escolha simples é
w=\begin{pmatrix}0\\[3pt]-1\end{pmatrix},
pois de fato (A+3I)w=(1,-1)^T=v.]

Passo 5

A teoria diz que as duas soluções fundamentais são
x^{(1)}(t)=e^{-3t}v,\qquad x^{(2)}(t)=t\,e^{-3t}\,v + e^{-3t}\,w.
Assim, a solução geral é
x(t)=C_1\,x^{(1)}(t)+C_2\,x^{(2)}(t),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

x(t) =C_1\,e^{-3t} \begin{pmatrix}1\\[3pt]-1\end{pmatrix} + C_2\Bigl( t\,e^{-3t} \begin{pmatrix}1\\[3pt]-1\end{pmatrix} + e^{-3t} \begin{pmatrix}0\\[3pt]-1\end{pmatrix} \Bigr).]

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