Encontrar a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais homogêneos.
\dot{x}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right) x

Passo 1

O problema é resolver o sistema linear homogêneo de equações diferenciais
\dot x = A\,x,\quad A = \begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\\ 0 & 2 & 0\\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix},
usando o método de autovalores e autovetores (no caso deficiente, cadeia de vetores generalizados) para obter a forma de Jordan e escrever a solução geral.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}2-\lambda&0&1\\\ 0&2-\lambda&0\\\ 0&1&2-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda&0\\\ 1&2-\lambda\end{pmatrix} +\det\!\begin{pmatrix}0&2-\lambda\\\ 0&1\end{pmatrix} =(2-\lambda)^3.
Logo \lambda=2 é raiz tripla.

Passo 3

Buscamos autovetores em (A-2I)v=0:
(A-2I)=\begin{pmatrix}0&0&1\\\ 0&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix},
que impõe z=0 e y=0, deixando x livre. Assim um autovetor é \,v_1=(1,0,0)^T.
Como a multiplicidade geométrica é 1, passamos a encontrar vetores generalizados.

Passo 4

Procuramos v_2 tal que (A-2I)v_2=v_1. Se v_2=(a,b,c)^T, (A-2I)v_2=(c,0,b)^T=(1,0,0)^T c=1, b=0. Tomamos v_2=(0,0,1)^T.
Em seguida v_3 satisfaz (A-2I)v_3=v_2. Se v_3=(p,q,r)^T, (A-2I)v_3=(r,0,q)^T=(0,0,1)^T r=0, q=1. Tomamos v_3=(0,1,0)^T.

Passo 5

Na base \{v_1,v_2,v_3\} A tem bloco de Jordan de tamanho 3 com valor próprio 2. A solução geral é então
x(t)=e^{2t}\Big[ C_1\,v_1 + C_2\,(v_2 + t\,v_1) + C_3\bigl(v_3 + t\,v_2 + \tfrac{t^2}{2}v_1\bigr) \Big],
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias. Substituindo v_1,v_2,v_3 obtemos em coordenadas canônicas:

Resposta

x(t)=e^{2t} \begin{pmatrix} C_1 + C_2\,t + \tfrac{C_3\,t^2}{2}\\[6pt] C_3\\[6pt] C_2 + C_3\,t \end{pmatrix},
com C_1,C_2,C_3\in\mathbb{R}.]

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