Encontrar a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais homogêneos.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo autônomo
onde
O conteúdo que vamos usar é o método de autovalores e autovetores para sistemas de equações diferenciais.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
. Como
é triangular por blocos,
Logo, os autovalores são
,
e
.
Passo 3
Para cada autovalor resolvemos
:
Para
:
as equações dão
e
, ou seja
,
. Tomando
obtemos
Para
:
vem
e
, ou seja
,
. Tomando
obtemos
Para
:
vem
,
, e
livre. Tomando
obtemos
Passo 4
Como os autovalores são distintos, a solução geral é combinação linear dos modos
:
onde
são constantes arbitrárias.