Encontrar a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais homogêneos.
\dot{x}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\\\ -1 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo autônomo
\dot{x}=A\,x,
onde
A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\\\ -1 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é o método de autovalores e autovetores para sistemas de equações diferenciais.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A. Como A é triangular por blocos,
\chi(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} -\lambda & 2 & 0\\\\ -1 & 3-\lambda & 0\\\\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} =\bigl((-\lambda)(3-\lambda)-(-1)\cdot2\bigr)\,(3-\lambda)
\chi(\lambda)=(\lambda^2-3\lambda+2)\,(3-\lambda) =(\lambda-1)(\lambda-2)(3-\lambda).
Logo, os autovalores são \lambda_1=1, \lambda_2=2 e \lambda_3=3.

Passo 3

Para cada autovalor resolvemos (A-\lambda I)v=0:
Para \lambda_1=1:
A-I=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0\\\\ -1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
as equações dão -x_1+2x_2=0 e 2x_3=0, ou seja x_1=2x_2, x_3=0. Tomando x_2=1 obtemos
v_1=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=2:
A-2I=\begin{pmatrix} -2 & 2 & 0\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
vem -2x_1+2x_2=0 e x_3=0, ou seja x_1=x_2, x_3=0. Tomando x_2=1 obtemos
v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Para \lambda_3=3:
A-3I=\begin{pmatrix} -3 & 2 & 0\\\\ -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
vem x_1=0, x_2=0, e x_3 livre. Tomando x_3=1 obtemos
v_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Como os autovalores são distintos, a solução geral é combinação linear dos modos \exp(\lambda_i t)v_i:
x(t) =c_1\,v_1\,e^{1t} +c_2\,v_2\,e^{2t} +c_3\,v_3\,e^{3t},
onde c_1,c_2,c_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

x(t) = c_1 \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e^{t} + c_2 \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e^{2t} + c_3 \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} e^{3t}.

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