Encontrar a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais homogêneos.
\dot{x}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema homogêneo
\dot{x} = A\,x
em \mathbb{R}^{3}, onde
A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\\ 0 & 1 & 0\\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo principal aqui é usar exponencial matricial para resolver \dot{x}=Ax.

Passo 2

Observamos que A é triangular superior com autovalor único \lambda=1 de multiplicidade algébrica 3. Podemos escrever
A = I + N,
onde
N = A - I = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
é nilpotente de ordem 2, ou seja, N^2=0.

Passo 3

Para calcular a exponencial matricial, usamos
e^{A t} = e^{(I+N)t} = e^{I t}\,e^{N t} = e^{t}\,\bigl(I + N t\bigr),
já que N^2=0 implica
e^{N t} = I + N t + \tfrac{1}{2!}N^2t^2 + \cdots = I + N t.

Passo 4

Logo
e^{A t} = e^{t}\,\bigl(I + N t\bigr) = e^{t} \begin{pmatrix} 1 & 0 & t\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Seja x(0)=(x_{1}(0),x_{2}(0),x_{3}(0))^{T}. Então
x(t) = e^{A t}\,x(0) = e^{t} \begin{pmatrix} 1 & 0 & t\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}(0)\x_{2}(0)\x_{3}(0) \end{pmatrix}.
Isso dá, componente a componente,
x_{1}(t) = e^{t}\bigl(x_{1}(0) + t\,x_{3}(0)\bigr), \quad x_{2}(t) = e^{t}\,x_{2}(0), \quad x_{3}(t) = e^{t}\,x_{3}(0).

Passo 6

Renomeando constantes de integração como C_{1},C_{2},C_{3}, a solução geral fica
x_{3}(t) = C_{3}\,e^{t},\quad x_{2}(t) = C_{2}\,e^{t},\quad x_{1}(t) = \bigl(C_{1} + C_{3}\,t\bigr)e^{t}.

Resposta

A solução geral é
x(t)=\begin{pmatrix} \bigl(C_{1}+C_{3}\,t\bigr)e^{t}\\[6pt] C_{2}\,e^{t}\\[4pt] C_{3}\,e^{t} \end{pmatrix},
com C_{1},C_{2},C_{3}\in\mathbb{R}.]

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