2^{\underline{a}} Questão ( \mathbf{1 0} pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen} x \cos ^{5} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \sin x \,\cos^{5}x \,dx.
O conteúdo envolvido é integração por substituição (u-substituição), pois vemos o produto de uma função e sua derivada aparente.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \cos x,
porque a derivada de \cos x é -\sin x. Assim, diferenciando,
du = -\sin x \,dx \quad\Longrightarrow\quad -\!du = \sin x \,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, substituímos \cos^{5}x = u^{5} e \sin x\,dx = -\,du:
\int \sin x \,\cos^{5}x \,dx = \int u^{5}\,(-du) = -\int u^{5}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
-\int u^{5}\,du = -\frac{u^{6}}{6} + C_{1},
onde C_{1} é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável x com u=\cos x, obtemos
-\frac{(\cos x)^{6}}{6} + C,
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

\int \sin x \,\cos^{5}x \,dx = -\frac{\cos^{6}x}{6} + C.

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