Encontrar a soma da série:
Passo 1
O enunciado pede a soma da série infinita cujos termos são
Informações relevantes dadas:
Queremos encontrar o valor numérico dessa soma (se convergir).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática e intuitiva): uma técnica muito útil para somas de frações assim é a decomposição em frações parciais seguida de um somatório telescópico. Telescópico significa que, ao escrever cada termo como diferença de duas frações, muitos termos se cancelam quando somamos. Vou mostrar passo a passo como fazer a decomposição e por que ocorre o cancelamento.
Antes de decompor, lembro um fato simples e útil: se conseguimos escrever um termo como diferença de duas quantidades parecidas,
então a soma parcial
porque tudo entre
cancela. Esse é o efeito telescópico que vamos usar.
Passo 3
Vamos decompor o termo geral
. Uma forma elegante é tentar escrever como diferença de duas frações com denominadores quadráticos vizinhos:
proponho buscar uma identidade do tipo
proponho buscar uma identidade do tipo
onde
é uma constante a determinar. Isso é natural porque os denominadores
e
estão “próximos” e a diferença pode gerar o denominador cúbico desejado.
Passo 4
Calculo a diferença proposta para encontrar
. Primeiro calculo
Portanto
Aqui encontramos
. Essa transformação é o coração do telescópio: escrevemos cada termo como metade da diferença entre duas frações de ordens vizinhas.
Passo 5
Para tornar o telescópio ainda mais claro, noto que também podemos decompor cada termo quadrático:
pois
Mas não precisamos usar essa forma agora; basta usar a forma com os denominadores
e
para ver o cancelamento direto.
Passo 6
Considere a soma parcial até
:
Usando a identidade do Passo 4,
Agora escrevo os primeiros termos explícitos para ver o cancelamento:
Observa que
aparece com sinal positivo e negativo, o mesmo para
, etc. Tudo cancela exceto o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Assim
Passo 7
Voltando a
com o fator
, obtemos
Como
, podemos simplificar a expressão (aqui mostro a simplificação algébrica):
Passo 8
Agora tomamos o limite quando
para obter a soma infinita. Observamos que
porque
cresce sem limite e o inverso tende a zero. Portanto