Dizer se as séries seguintes convergem absolutamente: -1+\frac{1}{\sqrt[5]{2}}-\frac{1}{\sqrt[5]{3}}+\frac{1}{\sqrt[5]{4}}+\ldots(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt[5]{n}}+\ldots
converge absolutamente. Informações dadas: a sequência geral dos termos é \displaystyle a_{n}=(-1)^{n}n^{-1/5}. A pergunta principal é sobre convergência absoluta (ou seja, convergência da série dos valores absolutos). É útil também verificar, em seguida, se a série converge de forma não absoluta (condicional), porque isso costuma aparecer em provas.
Passo 2
Definição e tradução do problema para uma verificação prática. Uma série \displaystyle\sum a_{n} converge absolutamente se a série dos módulos \displaystyle\sum |a_{n}| converge. Aqui
|a_{n}|=\frac{1}{n^{1/5}},
portanto a verificação de convergência absoluta equivale a estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/5}}.
Esta forma é a clássica série do tipo “p-series” (série harmônica generalizada) com expoente p=\tfrac{1}{5}.
Passo 3
Teste da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}. Lembrete útil: a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1; se p\le 1 ela diverge. Aqui temos p=\tfrac{1}{5}\le 1, então a série dos módulos deve divergir. Para justificar de forma didática posso usar o teste da integral:
Considere a função f(x)=x^{-1/5} para x\ge1. Então
Como 4/5>0, tem-se \lim_{t\to\infty}t^{4/5}=\infty, logo
\int_{1}^{\infty} x^{-1/5}\,dx = \infty.
Pelo teste da integral (ou pelo resultado padrão das p-series), a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/5}}
diverge. Portanto a série dos valores absolutos não converge, isto é, a série original não converge absolutamente.
Passo 4
Verificação de convergência condicional (útil para completar a compreensão). Aplicamos o teste das séries alternadas (teste de Leibniz). Escrevemos a série na forma \sum (-1)^{n}b_{n} com
b_{n}=\frac{1}{n^{1/5}}>0.
O teste de Leibniz afirma que se b_{n} é monotonamente decrescente para n suficientemente grande e \lim_{n\to\infty} b_{n}=0, então \sum (-1)^{n}b_{n} converge.
Limite: \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_{n}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{1/5}}=0. Isso é claro porque potências positivas de n crescem sem limite.
Monotonicidade: considere f(x)=x^{-1/5} para x\ge1. Derivando,
logo f é decrescente em [1,\infty). Assim b_{n}=f(n) é uma sequência decrescente.
Portanto as condições do teste de Leibniz são satisfeitas e a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{n^{1/5}}
converge. Como já vimos que não converge absolutamente, o tipo de convergência é condicional.
Passo 5
Interpretação final e dica prática para prova. Resumindo: a série dos módulos é a p-série com p=\tfrac{1}{5}\le1, logo diverge (logo, não há convergência absoluta). Porém a sequência dos módulos tende a zero e é monotonicamente decrescente, então pela regra de Leibniz a série alternada converge. Em provas, esse é um padrão padrão: se tiver (-1)^{n}n^{-p}, primeiro teste da p-série para valores absolutos; depois, se p\le1 e os termos vão a zero, aplicar Leibniz para checar convergência condicional.
Resposta
Não — a série não converge absolutamente; ela converge condicionalmente.