Encontrar todas as soluções de cada uma das seguintes congruências lineares.
(d) 37 x equiv 16(bmod 19)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear
37x equiv 16 pmod19
Aqui o conteúdo é “congruência linear” e vamos precisar checar se gcd(37,19) divide 16 e, em caso afirmativo, encontrar o inverso de 37 módulo 19.

Passo 2

Calculemos o máximo divisor comum:
gcd(37,19)=gcd(19,37-19cdot1)=gcd(19,18)=gcd(18,1)=1
Como gcd(37,19)=1 divide 16, existe solução única módulo 19. Além disso, podemos reduzir 37 módulo 19:
37equiv 37-2cdot19 = -1 pmod19

Passo 3

Substituindo, a congruência fica
-1cdot x equiv 16 pmod19,
ou seja
-x equiv 16 pmod19
Multiplicando ambos os lados por -1 (que é seu próprio inverso) obtemos
x equiv -16 pmod19
E como -16equiv 3pmod19, temos
x equiv 3 pmod19

Passo 4

A solução geral de qualquer congruência xequiv apmodn é
x = a + n k, kinZ
Logo, aqui
x = 3 + 19k, kinZ

Resposta

x equiv 3 pmod19,
isto é, x = 3 + 19k para todo kinZ.

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