Encontrar todas as soluções de cada uma das seguintes congruências lineares.
(e) 5 x equiv 20(bmod 15)

Passo 1

O enunciado pede as soluções inteiras da congruência linear
5x equiv 20 pmod15
Para isso usamos o seguinte fato: a congruência
a x equiv b pmodm
tem solução se, e somente se, gcd(a,m) divide b. Se houver solução, dividimos toda a congruência por gcd(a,m) para obter uma congruência equivalente de módulo reduzido.

Passo 2

Calcular o máximo divisor comum entre o coeficiente e o módulo:
gcd(5,15)=5

Passo 3

Verificar se esse divisor comum divide o termo à direita:
5mid 20?
Como 20/5=4 é inteiro, a condição de existência de solução está satisfeita.

Passo 4

Dividimos a congruência por 5:
55x equiv 205pmod155
que simplifica para
x equiv 4 pmod3

Passo 5

A solução geral dessa congruência reduzida é
x = 4 + 3k, kinZ
Para listar as classes incongruentes módulo 15, basta tomar k=0,1,2,3,4, o que gera
xequiv 4,,7,,10,,13,,1pmod15

Resposta

As soluções inteiras são
x = 4 + 3k, kinZ,
ou, como classes módulo 15,
xequiv 1,4,7,10,13pmod15

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