QUESTÃO 07
Mostrar que a^7 equiv a(bmod 21) para todo intciro a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para todo inteiro a vale
a^7 equiv a pmod21
Como 21 = 3 cdot 7 e 3 e 7 são primos entre si, basta provar separadamente que
a^7 equiv a pmod3 e a^7 equiv a pmod7,
e então usar o Teorema Chinês dos Resíduos.

Passo 2

Verificação em pmod7: pelo Teorema de Fermat, para o primo 7 temos
a^7 equiv a pmod7
para todo inteiro a. De fato, se gcd(a,7)=1 então a^6equiv1pmod7 e logo a^7equiv apmod7; se 7mid a então ambos a^7 e a são congruentes a zero.

Passo 3

Verificação em pmod3: pelo Teorema de Fermat para o primo 3 temos
a^3 equiv a pmod3
Então
a^7 = a^3cdot2 + 1 = (a^3)^2 cdot a equiv a^2 cdot a = a^3 equiv a pmod3
Novamente, se gcd(a,3)=1 usamos a^2equiv1pmod3 indiretamente via a^3equiv a, e se 3mid a ambos são zero.

Passo 4

Conclusão pelo Teorema Chinês dos Resíduos: como ,a^7equiv apmod3 e ,a^7equiv apmod7 e gcd(3,7)=1, segue que
a^7 equiv a pmod21

Resposta

a^7equiv apmod21 para todo inteiro a.

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