Encontrar todas as soluções de cada uma das seguintes congruências lineares.
(a) 5 x equiv 3(bmod 7)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear
5x equiv 3 pmod7
O conteúdo aqui é a teoria de congruências lineares: primeiro verificamos se existe solução (via o gcd), e depois, se existir, encontramos o inverso multiplicativo de 5 módulo 7 para isolar x.

Passo 2

Calculamos o máximo divisor comum entre 5 e 7:
gcd(5,7)=1
Como 1mid 3, existe solução única módulo 7.

Passo 3

Precisamos do inverso de 5 em Z7, ou seja, um inteiro a tal que
5a equiv 1 pmod7
Testando valores em 1,2,dots,6 notamos que
5cdot 3 = 15 equiv 1 pmod7,
logo a=3 é o inverso de 5.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da congruência original por esse inverso 3:
x equiv 3cdot 3 pmod7 Longrightarrow x equiv 9 pmod7 Longrightarrow x equiv 2 pmod7

Resposta

As soluções de
5xequiv3pmod7
são
x equiv 2 pmod7,
isto é, x = 2 + 7k para todo kinZ.

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