Resolver os seguintes sistemas:
c) lx equiv 7(bmod 11) 3 x equiv 5(bmod 13) 7 x equiv 4(bmod 5)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de congruências
x equiv 7 pmod11, 3x equiv 5 pmod13, 7x equiv 4 pmod5
O conteúdo principal é aritmética modular e o Teorema Chinês do Resto (CRT). Vamos primeiro transformar cada congruência numa forma xequiv apmod m usando inversos modulares, depois aplicar CRT para obter a solução única módulo 11cdot13cdot5=715.

Passo 2

Resolver 3xequiv5pmod13 e 7xequiv4pmod5:
  1. Em pmod13, o inverso de 3 é 9 porque 3cdot9=27equiv1. Logo xequiv9cdot5=45equiv6pmod13
  2. Em pmod5, 7equiv2, então 2xequiv4pmod5. O inverso de 2 é 3, pois 2cdot3=6equiv1. Logo xequiv3cdot4=12equiv2pmod5
Agora temos
xequiv7pmod11, xequiv6pmod13, xequiv2pmod5

Passo 3

Aplicar CRT a xequiv7pmod11 e xequiv6pmod13. Escreva x=7+11t e imponha
7+11tequiv6pmod13Longrightarrow11tequiv-1equiv12pmod13
O inverso de 11 em pmod13 é 6 (pois 11cdot6=66equiv1), então
tequiv6cdot12=72equiv7pmod13
Isso dá t=7+13k e
x=7+11cdot7+11cdot13k=84+143k,
ou seja
xequiv84pmod143

Passo 4

Combinar xequiv84pmod143 com xequiv2pmod5. Escreva x=84+143k e imponha
84+143kequiv2pmod5
Como 84equiv4 e 143equiv3 em pmod5, obtemos
4+3kequiv2pmod5 Longrightarrow 3kequiv-2equiv3pmod5
O inverso de 3 em pmod5 é 2, logo
kequiv2cdot3=6equiv1pmod5,
isto é k=1+5n. Portanto
x=84+143cdot1+143cdot5n=227+715n,
logo
xequiv227pmod715

Resposta

A solução geral é
xequiv227pmod715

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