Encontrar todos os pontos críticos
. Separe pontos de máximo, mínimo e de sela. Aplique o teste (4.5)
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos (ou seja, todos os pontos onde
) da função
e então separar esses pontos em máximos, mínimos ou pontos de sela, usando o teste (4.5).
Informações dadas: a função . As perguntas são: quais são os pontos críticos? e, para cada ponto crítico, qual é a sua classificação (máximo, mínimo ou sela)?
Informações dadas: a função
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais primeiras. Lembre que para calcular
tratamos
como constante, e para
tratamos
como constante.
A função é . Aplicando a regra da cadeia:
A função é
Expliquei: a derivada de
é
vezes a derivada do interior; o interior é
, cuja derivada em relação a
é
e em relação a
é
.
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
. Usando as expressões acima:
Ambas as equações são equivalentes a
Portanto os pontos críticos são todos os pares
tais que
. Em outras palavras, toda a reta
no plano é o conjunto de pontos críticos.
Passo 4
Agora vamos aplicar o teste das segundas derivadas (teste (4.5)). Primeiro precisamos das derivadas parciais segundas:
O discriminante do teste é
Passo 5
Calculemos
usando os valores obtidos:
Explicação do significado: o teste das segundas derivadas diz que, num ponto crítico,
- se
e então é mínimo local, - se
e então é máximo local, - se
então é ponto de sela, - se
o teste é inconclusivo (não nos dá a resposta). Aqui , então o teste é inconclusivo e precisamos de outro argumento para classificar os pontos.
Passo 6
Fazemos uma análise direta da função para classificar os pontos críticos. Observe que
e a igualdade
ocorre exatamente quando
, ou seja, na reta
. Tomemos um ponto crítico genérico
com
. Para um deslocamento
pequeno temos
Além disso
. Logo, em qualquer vizinhança de
os valores de
são maiores ou iguais a
, e o valor em
é o menor possível (igual a
). Portanto
é um mínimo local. Note que não é um mínimo estrito, porque se tomarmos deslocamentos com
(ou seja, movendo-se ao longo da própria reta
) temos
, isto é, existem outros pontos arbitrariamente próximos que também têm valor
.
Passo 7
Conclusão: todos os pontos da reta
são pontos críticos e correspondem a mínimos (não estritos). Não há pontos críticos que sejam máximos nem pontos de sela.
Resposta
Pontos críticos: todos os pontos
com
.\nClassificação: mínimos locais (não estritos) ao longo da reta
.\nMáximos: nenhum.\nPontos de sela: nenhum.