Encontrar todos os pontos críticos \left(f_{x}=0=f_{y}\right). Separe pontos de máximo, mínimo e de sela. Aplique o teste (4.5)
(e) (x-y)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos (ou seja, todos os pontos onde \;f_x=0=f_y\;) da função \;f(x,y)=(x-y)^2\; e então separar esses pontos em máximos, mínimos ou pontos de sela, usando o teste (4.5).
Informações dadas: a função \;f(x,y)=(x-y)^2\;. As perguntas são: quais são os pontos críticos? e, para cada ponto crítico, qual é a sua classificação (máximo, mínimo ou sela)?

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais primeiras. Lembre que para calcular \;f_x\; tratamos \;y\; como constante, e para \;f_y\; tratamos \;x\; como constante.
A função é \;f(x,y)=(x-y)^2\;. Aplicando a regra da cadeia:
f_x = 2(x-y)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x-y)=2(x-y)\cdot 1=2(x-y).
f_y = 2(x-y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=2(x-y)\cdot(-1)=-2(x-y).
Expliquei: a derivada de (\cdot)^2 é 2(\cdot) vezes a derivada do interior; o interior é x-y, cuja derivada em relação a x é 1 e em relação a y é -1.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema \;f_x=0=f_y\;. Usando as expressões acima:
2(x-y)=0\quad\text{e}\quad -2(x-y)=0.
Ambas as equações são equivalentes a
x-y=0.
Portanto os pontos críticos são todos os pares (x,y) tais que \;x=y\;. Em outras palavras, toda a reta \;x=y\; no plano é o conjunto de pontos críticos.

Passo 4

Agora vamos aplicar o teste das segundas derivadas (teste (4.5)). Primeiro precisamos das derivadas parciais segundas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2(x-y)\bigr)=2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2(x-y)\bigr)=2,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}f_x=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2(x-y)\bigr)=-2.
O discriminante do teste é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2.

Passo 5

Calculemos D usando os valores obtidos:
D = 2\cdot 2 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0.
Explicação do significado: o teste das segundas derivadas diz que, num ponto crítico,
  • se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local,
  • se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local,
  • se D<0 então é ponto de sela,
  • se D=0 o teste é inconclusivo (não nos dá a resposta). Aqui D=0, então o teste é inconclusivo e precisamos de outro argumento para classificar os pontos.

Passo 6

Fazemos uma análise direta da função para classificar os pontos críticos. Observe que
f(x,y)=(x-y)^2\ge 0\quad\text{para todo}\\ (x,y),
e a igualdade \;f(x,y)=0\; ocorre exatamente quando \;x-y=0\;, ou seja, na reta \;x=y\;. Tomemos um ponto crítico genérico (a,a) com a\in\mathbb{R}. Para um deslocamento (h,k) pequeno temos
f(a+h,a+k)=(a+h-(a+k))^2=(h-k)^2\ge 0.
Além disso f(a,a)=0. Logo, em qualquer vizinhança de (a,a) os valores de f são maiores ou iguais a 0, e o valor em (a,a) é o menor possível (igual a 0). Portanto (a,a) é um mínimo local. Note que não é um mínimo estrito, porque se tomarmos deslocamentos com h=k (ou seja, movendo-se ao longo da própria reta x=y) temos (h-k)^2=0, isto é, existem outros pontos arbitrariamente próximos que também têm valor 0.

Passo 7

Conclusão: todos os pontos da reta \;x=y\; são pontos críticos e correspondem a mínimos (não estritos). Não há pontos críticos que sejam máximos nem pontos de sela.

Resposta

Pontos críticos: todos os pontos (x,y) com \;x=y.\nClassificação: mínimos locais (não estritos) ao longo da reta \;x=y.\nMáximos: nenhum.\nPontos de sela: nenhum.

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