Encontrar todos os pontos críticos
. Separe pontos de máximo, mínimo e de sela. Aplique o teste (4.5)
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os pontos críticos (ou seja, todos os pontos onde
e
) da função dada e classificar cada ponto como máximo, mínimo ou sela. A função fornecida é
Informações relevantes dadas:
- A expressão de
está acima. - Preciso resolver o sistema formado por
e . - Depois, aplicar o teste (4.5) que usa as derivadas segundas para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais primeiras. Vou explicar como:
- Para derivar em relação a
, trato como constante. A derivada de em relação a é . A derivada de em relação a é (porque é constante em ). A derivada de em relação a é (não depende de ).
Portanto,
- Para derivar em relação a
, trato como constante. A derivada de em relação a é . A derivada de em relação a é . A derivada de em relação a é .
Portanto,
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema
Resolver passo a passo:
- Da primeira equação
temos, dividindo por ,
- Da segunda equação
temos, dividindo por ,
- Substituindo
em dá , isto é . Então .
Logo existe um único ponto crítico:
Passo 4
Explicar o teste (4.5) de classificação (segunda derivada):
- Seja um ponto crítico
. Definimos as derivadas segundas
- Calcula-se o discriminante (determinante da Hessiana) no ponto crítico:
Interpretação do teste:
- Se
e então há um mínimo local. - Se
e então há um máximo local. - Se
então o ponto é de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Obs.: para funções quadráticas (como aqui), se a Hessiana for definida negativa (ou sejae e primeiro menor principal negativo), o máximo local é estrito e também é máximo global.
Passo 5
Calcular as derivadas segundas da função:
- Diferenciando
em relação a dá
- Diferenciando
em relação a (ou em relação a ) dá
- Diferenciando
em relação a dá
Esses valores são constantes (não dependem de
) porque
é uma forma quadrática.
Passo 6
Avaliar o discriminante
no ponto crítico
(os valores são constantes, então valem em qualquer ponto):
Temos
. Além disso
. Pelo teste (4.5), isso implica que o ponto crítico é um máximo local. Como a Hessiana é definida negativa (primeiro menor principal
e determinante positiva), para essa forma quadrática o máximo é estrito e na verdade é o máximo global da função.