Encontrar todos os pontos críticos \left(f_{x}=0=f_{y}\right). Separe pontos de máximo, mínimo e de sela. Aplique o teste (4.5)
(d) -x^{2}+2 x y-3 y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os pontos críticos (ou seja, todos os pontos onde f_{x}=0 e f_{y}=0) da função dada e classificar cada ponto como máximo, mínimo ou sela. A função fornecida é
f(x,y) = -x^{2} + 2xy - 3y^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão de f(x,y) está acima.
  • Preciso resolver o sistema formado por f_{x}=0 e f_{y}=0.
  • Depois, aplicar o teste (4.5) que usa as derivadas segundas para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais primeiras. Vou explicar como:
  • Para derivar em relação a x, trato y como constante. A derivada de -x^{2} em relação a x é -2x. A derivada de 2xy em relação a x é 2y (porque 2y é constante em x). A derivada de -3y^{2} em relação a x é 0 (não depende de x).
    Portanto,
f_{x}(x,y) = -2x + 2y.
  • Para derivar em relação a y, trato x como constante. A derivada de -x^{2} em relação a y é 0. A derivada de 2xy em relação a y é 2x. A derivada de -3y^{2} em relação a y é -6y.
    Portanto,
f_{y}(x,y) = 2x - 6y.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema
\begin{cases} f_{x}(x,y)=0\\[4pt] f_{y}(x,y)=0 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -2x+2y=0\\[4pt] 2x-6y=0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da primeira equação -2x+2y=0 temos, dividindo por 2,
- x + y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = x.
  • Da segunda equação 2x-6y=0 temos, dividindo por 2,
x - 3y = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 3y.
  • Substituindo y=x em x=3y x = 3x, isto é 3x - x = 0\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0. Então y=x=0.
    Logo existe um único ponto crítico:
(x,y) = (0,0).]

Passo 4

Explicar o teste (4.5) de classificação (segunda derivada):
  • Seja um ponto crítico (x_{0},y_{0}). Definimos as derivadas segundas
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\quad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\quad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
  • Calcula-se o discriminante (determinante da Hessiana) no ponto crítico:
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
Interpretação do teste:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então há um mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então há um máximo local.
  • Se D<0 então o ponto é de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
    Obs.: para funções quadráticas (como aqui), se a Hessiana for definida negativa (ou seja D>0 e f_{xx}<0 e primeiro menor principal negativo), o máximo local é estrito e também é máximo global.

Passo 5

Calcular as derivadas segundas da função:
  • Diferenciando f_{x}(x,y) = -2x + 2y em relação a x
f_{xx}(x,y) = -2.
  • Diferenciando f_{x}(x,y) em relação a y (ou f_{y} em relação a x) dá
f_{xy}(x,y) = 2.
  • Diferenciando f_{y}(x,y) = 2x - 6y em relação a y
f_{yy}(x,y) = -6.
Esses valores são constantes (não dependem de x,y) porque f é uma forma quadrática.

Passo 6

Avaliar o discriminante D no ponto crítico (0,0) (os valores são constantes, então valem em qualquer ponto):
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} = (-2)\cdot(-6) - (2)^{2} = 12 - 4 = 8.
Temos D = 8 > 0. Além disso f_{xx} = -2 < 0. Pelo teste (4.5), isso implica que o ponto crítico é um máximo local. Como a Hessiana é definida negativa (primeiro menor principal -2<0 e determinante positiva), para essa forma quadrática o máximo é estrito e na verdade é o máximo global da função.

Resposta

(0,0): máximo local (estrito) e máximo global

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