Encontrar todos os pontos críticos
. Separe pontos de máximo, mínimo e de sela. Aplique o teste (4.5)
(g)
.
(g)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os pontos críticos (ou seja, os pontos onde
e
) da função
e, para cada ponto crítico, determinar se é máximo local, mínimo local ou ponto de sela usando o teste (4.5).
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de acima. A resolução começa a seguir.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de
Passo 2
Primeiro lembrete didático: ponto crítico é qualquer ponto
onde as derivadas parciais primeiras se anulam simultaneamente (ou onde alguma delas não existe). As derivadas parciais são as derivadas de
em relação a uma variável mantendo a outra fixa. Formalmente, procuramos resolver o sistema
Depois de encontrar esses pontos, usamos o teste das segundas derivadas (o teste que você chamou de (4.5)). Esse teste usa as segundas derivadas para formar o discriminante (determinante da Hessiana)
As regras do teste são:
- Se
e então é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras de
. Derivando termo a termo:
Agora resolvemos o sistema
e
:
Como as equações são separáveis (uma depende só de
, outra só de
), todos os pares combinatórios são pontos críticos. Logo os pontos críticos são:
Passo 4
Agora aplicamos o teste das segundas derivadas. Primeiro calculemos as segundas derivadas parciais:
- Derivada segunda em
:
- Derivada segunda em
:
- Derivada mista:
Como
, o discriminante simplifica para
Podemos escrever explicitamente:
Passo 5
Avaliar
e
em cada ponto crítico e classificar.
Ponto
:
Como
,
é ponto de sela.
Ponto
:
Aqui
e
, então
é máximo local.
Ponto
:
Aqui
e
, então
é mínimo local.
Ponto
:
Como
,
é ponto de sela.
Passo 6
(Vou calcular os valores de
em cada ponto só para dar uma intuição numérica, não é necessário para a classificação, mas ajuda a visualizar.)
Isso confirma: em
o valor é maior que em pontos vizinhos (máximo local) e em
o valor é menor (mínimo local). Os pontos de sela têm valores que não são extremos locais.