Encontrar todos os pontos críticos \left(f_{x}=0=f_{y}\right). Separe pontos de máximo, mínimo e de sela. Aplique o teste (4.5)
(g) x^{3}+y^{3}-3 x^{2}+3 y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os pontos críticos (ou seja, os pontos onde f_x=0 e f_y=0) da função
f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3x^{2}+3y^{2},
e, para cada ponto crítico, determinar se é máximo local, mínimo local ou ponto de sela usando o teste (4.5).
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de f(x,y) acima. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Primeiro lembrete didático: ponto crítico é qualquer ponto (x,y) onde as derivadas parciais primeiras se anulam simultaneamente (ou onde alguma delas não existe). As derivadas parciais são as derivadas de f em relação a uma variável mantendo a outra fixa. Formalmente, procuramos resolver o sistema
f_x(x,y)=0,\qquad f_y(x,y)=0.
Depois de encontrar esses pontos, usamos o teste das segundas derivadas (o teste que você chamou de (4.5)). Esse teste usa as segundas derivadas para formar o discriminante (determinante da Hessiana)
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\big(f_{xy}(x,y)\big)^2.
As regras do teste são:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então (x,y) é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então (x,y) é máximo local.
  • Se D<0 então (x,y) é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras de f. Derivando termo a termo:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}-3x^{2}\big)=3x^{2}-6x=3x(x-2),
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{3}+3y^{2}\big)=3y^{2}+6y=3y(y+2).
Agora resolvemos o sistema f_x=0 e f_y=0:
3x(x-2)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\\ \text{ou}\\ x=2,
3y(y+2)=0\quad\Rightarrow\quad y=0\\ \text{ou}\\ y=-2.
Como as equações são separáveis (uma depende só de x, outra só de y), todos os pares combinatórios são pontos críticos. Logo os pontos críticos são:
(0,0),\quad (0,-2),\quad (2,0),\quad (2,-2).

Passo 4

Agora aplicamos o teste das segundas derivadas. Primeiro calculemos as segundas derivadas parciais:
  • Derivada segunda em x:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}-6x\big)=6x-6=6(x-1).
  • Derivada segunda em y:
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(3y^{2}+6y\big)=6y+6=6(y+1).
  • Derivada mista:
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}-6x\big)=0.
Como f_{xy}=0, o discriminante simplifica para
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y).
Podemos escrever explicitamente:
D(x,y)=6(x-1)\cdot 6(y+1)=36\,(x-1)(y+1).

Passo 5

Avaliar f_{xx}, f_{yy} e D em cada ponto crítico e classificar.
Ponto (0,0):
f_{xx}(0,0)=6(0-1)=-6,\qquad f_{yy}(0,0)=6(0+1)=6,
D(0,0)=36\,(0-1)(0+1)=36\cdot(-1)\cdot 1=-36<0.
Como D<0, (0,0) é ponto de sela.
Ponto (0,-2):
f_{xx}(0,-2)=6(0-1)=-6,\qquad f_{yy}(0,-2)=6(-2+1)=6\cdot(-1)=-6,
D(0,-2)=36\,(0-1)(-2+1)=36\cdot(-1)\cdot(-1)=36>0.
Aqui D>0 e f_{xx}(0,-2)=-6<0, então (0,-2) é máximo local.
Ponto (2,0):
f_{xx}(2,0)=6(2-1)=6,\qquad f_{yy}(2,0)=6(0+1)=6,
D(2,0)=36\,(2-1)(0+1)=36\cdot 1\cdot 1=36>0.
Aqui D>0 e f_{xx}(2,0)=6>0, então (2,0) é mínimo local.
Ponto (2,-2):
f_{xx}(2,-2)=6(2-1)=6,\qquad f_{yy}(2,-2)=6(-2+1)=-6,
D(2,-2)=36\,(2-1)(-2+1)=36\cdot 1\cdot(-1)=-36<0.
Como D<0, (2,-2) é ponto de sela.

Passo 6

(Vou calcular os valores de f em cada ponto só para dar uma intuição numérica, não é necessário para a classificação, mas ajuda a visualizar.)
f(0,0)=0+0-0+0=0,
f(0,-2)=0+(-8)-0+12=4,
f(2,0)=8+0-12+0=-4,
f(2,-2)=8+(-8)-12+12=0.
Isso confirma: em (0,-2) o valor é maior que em pontos vizinhos (máximo local) e em (2,0) o valor é menor (mínimo local). Os pontos de sela têm valores que não são extremos locais.

Resposta

(0,0) — ponto de sela
(0,-2) — máximo local
(2,0) — mínimo local
(2,-2) — ponto de sela

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