Encontrar todos os pontos críticos
. Separe pontos de máximo, mínimo e de sela. Aplique o teste (4.5)
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos (ou seja, pontos onde
) da função dada e, para cada ponto crítico, classificar se é máximo local, mínimo local ou ponto de sela. A função fornecida é
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de
e a condição que define pontos críticos:
e
. Depois de achar os pontos críticos, usaremos o teste com as segundas derivadas (o chamado determinante da Hessiana) para classificar cada ponto.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a função para facilitar a diferenciação. Expandindo os quadrados:
Subtraindo as duas expressões obtemos
Cancelando
e combinando termos:
Uma forma factorada útil é
Agora uma breve aula sobre derivadas parciais: a derivada parcial de
em relação a
, escrita
, é a taxa de variação de
quando variamos
e mantemos
fixo. Analogamente
é a derivada parcial em relação a
. Para polinômios como este, derivamos termo a termo tratando a outra variável como constante.
Calculemos as derivadas parciais:
Aqui
é tratado como constante, então
e
. Logo
Agora
:
Derivando termo a termo:
(pois
é constante) e
. Assim
Passo 3
Pontos críticos são soluções do sistema
Substituindo as derivadas encontradas:
Da primeira equação vem
. Substituindo em
:
Portanto há exatamente um ponto crítico:
.]
Passo 4
Agora a aula sobre o teste com segundas derivadas (teste da Hessiana). Definimos as segundas derivadas:
O determinante da Hessiana (também chamado
ou
) no ponto
é
Regras de classificação: se em um ponto crítico
-
e então tem mínimo local em ; -
e então tem máximo local em ; -
então é ponto de sela; -
o teste é inconclusivo.
Passo 5
Calculemos as segundas derivadas a partir das primeiras:
Temos , então
Temos
pois
é tratado como constante ao derivar em
.
Temos , então
Temos
e
(Nota: simetria de derivadas mistas indica
.)
Passo 6
Avaliaremos o determinante da Hessiana no ponto crítico
. Como as segundas derivadas são constantes (ou independem dos valores em
,
neste caso), podemos usar diretamente:
Então
.
Pelo teste: como
, o ponto
é um ponto de sela. Para intuir isso rapidamente: ao longo do eixo
temos
(valor zero), enquanto ao longo da reta
(que anula o fator
) a função também se anula, mas escolhendo por exemplo
dá
(negativo), e escolhendo
dá
(negativo) — se escolhermos outras direções a função toma sinais opostos, característico de sela. (Esse par de testes por caminhos mostra comportamento em direções diferentes.)