Encontrar todos os pontos críticos \left(f_{x}=0=f_{y}\right). Separe pontos de máximo, mínimo e de sela. Aplique o teste (4.5)
(f) (x+y)^{2}-(x+2 y)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos (ou seja, pontos onde \,f_x=0=f_y\,) da função dada e, para cada ponto crítico, classificar se é máximo local, mínimo local ou ponto de sela. A função fornecida é
f(x,y)=(x+y)^{2}-(x+2y)^{2}.
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de f(x,y) e a condição que define pontos críticos: \,f_x(x,y)=0 e \,f_y(x,y)=0. Depois de achar os pontos críticos, usaremos o teste com as segundas derivadas (o chamado determinante da Hessiana) para classificar cada ponto.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a função para facilitar a diferenciação. Expandindo os quadrados:
(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2},
(x+2y)^{2}=x^{2}+4xy+4y^{2}.
Subtraindo as duas expressões obtemos
f(x,y)=(x+y)^{2}-(x+2y)^{2}=(x^{2}+2xy+y^{2})-(x^{2}+4xy+4y^{2}).
Cancelando x^{2} e combinando termos:
f(x,y)=2xy+y^{2}-4xy-4y^{2}=-2xy-3y^{2}.
Uma forma factorada útil é
f(x,y)=-y(2x+3y).
Agora uma breve aula sobre derivadas parciais: a derivada parcial de f em relação a x, escrita \,f_x, é a taxa de variação de f quando variamos x e mantemos y fixo. Analogamente \,f_y é a derivada parcial em relação a y. Para polinômios como este, derivamos termo a termo tratando a outra variável como constante.
Calculemos as derivadas parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(-2xy-3y^{2}).
Aqui y é tratado como constante, então \frac{\partial}{\partial x}(-2xy)=-2y e \frac{\partial}{\partial x}(-3y^{2})=0. Logo
f_x(x,y)=-2y.
Agora \,f_y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(-2xy-3y^{2}).
Derivando termo a termo: \frac{\partial}{\partial y}(-2xy)=-2x (pois x é constante) e \frac{\partial}{\partial y}(-3y^{2})=-6y. Assim
f_y(x,y)=-2x-6y.

Passo 3

Pontos críticos são soluções do sistema
\begin{cases} f_x(x,y)=0,\\[4pt] f_y(x,y)=0. \end{cases}
Substituindo as derivadas encontradas:
\begin{cases} -2y=0,\\[4pt] -2x-6y=0. \end{cases}
Da primeira equação vem \,y=0. Substituindo em \,f_y=0:
-2x-6\cdot 0=0 \quad\Rightarrow\quad -2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto há exatamente um ponto crítico: (0,0).]

Passo 4

Agora a aula sobre o teste com segundas derivadas (teste da Hessiana). Definimos as segundas derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\quad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\quad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
O determinante da Hessiana (também chamado D ou \Delta) no ponto (x_0,y_0) é
D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)\,f_{yy}(x_0,y_0)-\big(f_{xy}(x_0,y_0)\big)^{2}.
Regras de classificação: se em um ponto crítico (x_0,y_0)
  • D>0 e f_{xx}>0 então f tem mínimo local em (x_0,y_0);
  • D>0 e f_{xx}<0 então f tem máximo local em (x_0,y_0);
  • D<0 então (x_0,y_0) é ponto de sela;
  • D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 5

Calculemos as segundas derivadas a partir das primeiras:
Temos f_x(x,y)=-2y, então
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(-2y)=0,
pois y é tratado como constante ao derivar em x.
Temos f_y(x,y)=-2x-6y, então
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(-2x-6y)=-6,
e
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(-2y)=-2.
(Nota: simetria de derivadas mistas indica f_{yx}=f_{xy}=-2.)

Passo 6

Avaliaremos o determinante da Hessiana no ponto crítico (0,0). Como as segundas derivadas são constantes (ou independem dos valores em x, y neste caso), podemos usar diretamente:
D(0,0)=f_{xx}(0,0)\,f_{yy}(0,0)-\big(f_{xy}(0,0)\big)^{2}=0\cdot(-6)-(-2)^{2}=0-4=-4.
Então D(0,0)=-4<0.
Pelo teste: como D<0, o ponto (0,0) é um ponto de sela. Para intuir isso rapidamente: ao longo do eixo y=0 temos f(x,0)=0 (valor zero), enquanto ao longo da reta x=-\tfrac{3}{2}y (que anula o fator 2x+3y) a função também se anula, mas escolhendo por exemplo x=1,y=-1 f(1,-1)=-2\cdot1\cdot(-1)-3(-1)^{2}=2-3=-1 (negativo), e escolhendo x=-1,y=1 f(-1,1)= -2(-1)(1)-3(1)^{2}=2-3=-1 (negativo) — se escolhermos outras direções a função toma sinais opostos, característico de sela. (Esse par de testes por caminhos mostra comportamento em direções diferentes.)

Resposta

(0,0) ponto de sela.

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