Encontrar todos os pontos sobre a superfície definida pela equação
onde o plano tangente é paralelo ao plano
; isto é onde os vetores normais estaõ na mesma ou oposta direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede os pontos da superfície
cujo plano tangente seja paralelo ao plano
. Como o vetor normal ao plano tangente em cada ponto é dado por
, precisamos que esse vetor seja paralelo a
. Logo, as componentes
e
do gradiente devem ser nulas.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Para que
seja paralelo a
precisamos de
Isto dá o sistema
Resolvendo, obtemos
Passo 4
Substituímos
e
na equação da superfície:
Isso é
cuja solução é
Passo 5
Para
temos
e
.
Para temos
e
.
Ambos satisfazem e geram
com só componente em
.
Para
Ambos satisfazem