Encontrar todos os pontos sobre a superfície definida pela equação 3 x^2+y z+x y+ 2 x z-3 x+2=0 onde o plano tangente é paralelo ao plano y z; isto é onde os vetores normais estaõ na mesma ou oposta direção do vetor (1,0,0).

Passo 1

O enunciado pede os pontos da superfície
F(x,y,z)=3x^2+yz+xy+2xz-3x+2=0
cujo plano tangente seja paralelo ao plano yz. Como o vetor normal ao plano tangente em cada ponto é dado por nabla F, precisamos que esse vetor seja paralelo a (1,0,0). Logo, as componentes y e z do gradiente devem ser nulas.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F:
partial Fpartial x=6x+y+2z-3, partial Fpartial y=z+x, partial Fpartial z=y+2x

Passo 3

Para que nabla F seja paralelo a (1,0,0) precisamos de
partial Fpartial y=0 e partial Fpartial z=0
Isto dá o sistema
x+z=0, y+2x=0
Resolvendo, obtemos
z=-x, y=-2x

Passo 4

Substituímos y=-2x e z=-x na equação da superfície:
3x^2+(-2x)(-x)+x(-2x)+2x(-x)-3x+2=0
Isso é
3x^2+2x^2-2x^2-2x^2-3x+2 = x^2 -3x +2 =0,
cuja solução é
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0 ;Longrightarrow; x=1 ou x=2

Passo 5

Para x=1 temos y=-2 e z=-1.
Para x=2 temos y=-4 e z=-2.
Ambos satisfazem F(x,y,z)=0 e geram nabla F com só componente em x.

Resposta

(1,-2,-1) e (2,-4,-2).

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