Encontrar todos os pontos sobre a superfície x+y+z+x y-x^2-y^2=0 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano 8 x-10 y-2 z=73.
(Sug. Precisa achar (x, y, z) tais que a normal à superfície e ao plano devem satisfazer
(1+y-2 x) i+(1+x-2 y) j+k=alpha(8 i-10 j-2 k)
Aliás, estes (x, y, z) tem que estar sobre a superfície. Assim obtém um sistema de 4 equações com 4 incógnitas. Rpta. ( 2,-1,6 ))

Passo 1

Resumindo, queremos os pontos (x,y,z) que satisfazem a superfície
F(x,y,z)=x+y+z+xy-x^2-y^2=0
e cujo plano tangente seja paralelo ao plano 8x-10y-2z=73.
Para isso, vamos usar que o vetor normal ao plano tangente é nabla F(x,y,z) e que ele deve ser paralelo ao vetor normal do plano dado, (8,-10,-2).

Passo 2

Calculemos o gradiente de F:
nabla F(x,y,z) =l(tfracpartial Fpartial x,tfracpartial Fpartial y,tfracpartial Fpartial zr) =(1+y-2x,;1+x-2y,;1)

Passo 3

Para que nabla F seja paralelo a (8,-10,-2) existe alpha tal que
(1+y-2x,;1+x-2y,;1) =alpha,(8,-10,-2)
Isto gera o sistema
1+y-2x=8alpha, 1+x-2y=-10alpha, 1=-2alpha

Passo 4

Da terceira equação segue
alpha=-tfrac12

Passo 5

Substituindo alpha=-tfrac12 nas duas primeiras equações obtemos
1+y-2x=-4, 1+x-2y=5,
isto é
y-2x=-5, x-2y=4
Resolvendo este sistema linear achamos
x=2, y=-1

Passo 6

Para encontrar z, usamos que (x,y,z) está na superfície F=0:
2+(-1)+z+(2)(-1)-2^2-(-1)^2=0
que simplifica para
z=6

Resposta

(2,-1,6)

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