Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
y^prime prime+y=2 t sen t;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' + y = 2,tsin t
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar encontrar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois um particular para o lado direito 2,tsin t.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + y = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r = pm i. Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para o termo não homogêneo 2,tsin t normalmente tentaríamos
yp = (a,t + b)cos t + (c,t + d)sin t
Porém cos t e sin t já estão na solução homogênea, então multiplicamos por t, tomando
yp(t) = l(A,t^2 + B,tr)cos t + l(C,t^2 + D,tr)sin t

Passo 4

Calculamos yp' e yp'' por derivação de produto e depois formamos yp'' + yp. Após simplificar, obtém-se
yp'' + yp = l(4C,t + 2A + 2Dr)cos t + l(-4A,t + 2C - 2Br)sin t

Passo 5

Queremos que
Dessas equações vem , e .

Passo 6

Substituindo em yp obtemos
yp(t) = -tfrac12,t^2cos t + tfrac12,tsin t
Logo a solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos t + C2sin t - tfrac12,t^2cos t + tfrac12,tsin t

Resposta

y(t) = C1cos t + C2sin t - tfrac12,t^2cos t + tfrac12,tsin t

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