Encontrar todos os valores de
no intervalo
que satisfaz a equação dada:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os valores de
no intervalo
que satisfazem a equação
Informações relevantes dadas:
é a incógnita e deve estar no intervalo
.
A equação envolve apenas a função seno de .
O objetivo é listar todos os nesse intervalo que tornam a igualdade verdadeira.
A equação envolve apenas a função seno de
O objetivo é listar todos os
Passo 2
Vamos transformar a equação para uma forma que conhecemos bem: uma equação quadrática em
. Primeiro somo
em ambos os lados para deixar tudo no mesmo membro:
Aqui a ideia é tratar
como uma variável qualquer, por exemplo
. Assim obtemos a quadrática
Explicar isso: muitas equações trigonométricas viram equações algébricas quando reconhecemos que só aparece
(ou
, etc.). Então resolvemos a quadrática e depois voltamos à variável
.
Passo 3
Resolvendo a quadrática
. Tentamos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Assim podemos fatorar:
Confirmando a fatoração ao expandir:
Portanto as raízes são obtidas igualando cada fator a zero:
Passo 4
Voltando à variável original,
. Temos duas possibilidades:
e
Antes de prosseguir, checamos se esses valores são admissíveis: o seno sempre assume valores em
, então ambos
e
são válidos.
Passo 5
Agora resolvemos cada equação trigonométrica dentro do intervalo dado. Primeiro, para
no círculo unitário o seno vale
exatamente no ponto superior, que corresponde a
mais múltiplos inteiros de
. A forma geral é
No intervalo
o único
que dá um ângulo nessa faixa é
, então obtemos
Passo 6
Agora para
Uma forma prática: lembrar os ângulos notáveis do seno. O valor
corresponde ao ângulo principal
(30°). No círculo unitário, seno positivo aparece nos quadrantes I e II, e os dois ângulos com seno
no intervalo
são
e
Também poderíamos usar a forma geral da solução:
que para
dão
e
.
Passo 7
Verificação rápida: substituir os senos na expressão original para garantir que funcionam.
- Para
:
que é igual ao lado direito
. OK.
- Para
:
também OK.
Passo 8
Portanto as soluções encontradas estão corretas e são todas as soluções no intervalo pedido. Força aí — você já tem o passo a passo completo para aplicar em questões parecidas: transforme em quadrática em
, resolva, e depois converta as raízes para ângulos usando o círculo unitário.