Encontrar todos os valores de \theta no intervalo 0 \leq \theta<2 \pi que satisfaz a equação dada:
2 \operatorname{sen}^{2} \theta-3 \operatorname{sen} \theta=-1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores de \theta no intervalo 0 \leq \theta < 2\pi que satisfazem a equação
2\operatorname{sen}^{2}\theta-3\operatorname{sen}\theta=-1.
Informações relevantes dadas:
\; \theta é a incógnita e deve estar no intervalo [0,2\pi).
A equação envolve apenas a função seno de \theta.
O objetivo é listar todos os \theta nesse intervalo que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos transformar a equação para uma forma que conhecemos bem: uma equação quadrática em \operatorname{sen}\theta. Primeiro somo 1 em ambos os lados para deixar tudo no mesmo membro:
2\operatorname{sen}^{2}\theta-3\operatorname{sen}\theta+1=0.
Aqui a ideia é tratar \operatorname{sen}\theta como uma variável qualquer, por exemplo x=\operatorname{sen}\theta. Assim obtemos a quadrática
2x^{2}-3x+1=0.
Explicar isso: muitas equações trigonométricas viram equações algébricas quando reconhecemos que só aparece \operatorname{sen}\theta (ou \cos\theta, etc.). Então resolvemos a quadrática e depois voltamos à variável \theta.

Passo 3

Resolvendo a quadrática 2x^{2}-3x+1=0. Tentamos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja 2\cdot1=2 e cuja soma seja -3. Esses números são -1 e -2. Assim podemos fatorar:
2x^{2}-3x+1=(2x-1)(x-1).
Confirmando a fatoração ao expandir:
(2x-1)(x-1)=2x^{2}-2x-x+1=2x^{2}-3x+1.
Portanto as raízes são obtidas igualando cada fator a zero:
2x-1=0\quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2},
x-1=0\quad\Rightarrow\quad x=1.

Passo 4

Voltando à variável original, x=\operatorname{sen}\theta. Temos duas possibilidades:
\operatorname{sen}\theta=1
e
\operatorname{sen}\theta=\tfrac{1}{2}.
Antes de prosseguir, checamos se esses valores são admissíveis: o seno sempre assume valores em [-1,1], então ambos \tfrac{1}{2} e 1 são válidos.

Passo 5

Agora resolvemos cada equação trigonométrica dentro do intervalo dado. Primeiro, para
\operatorname{sen}\theta=1,
no círculo unitário o seno vale 1 exatamente no ponto superior, que corresponde a \theta=\tfrac{\pi}{2} mais múltiplos inteiros de 2\pi. A forma geral é
\theta=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
No intervalo 0\le\theta<2\pi o único k que dá um ângulo nessa faixa é k=0, então obtemos
\theta=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Agora para
\operatorname{sen}\theta=\tfrac{1}{2}.
Uma forma prática: lembrar os ângulos notáveis do seno. O valor \tfrac{1}{2} corresponde ao ângulo principal \theta=\tfrac{\pi}{6} (30°). No círculo unitário, seno positivo aparece nos quadrantes I e II, e os dois ângulos com seno \tfrac{1}{2} no intervalo [0,2\pi) são
\theta=\tfrac{\pi}{6}\quad\text{(quadrante I)}
e
\theta=\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6}\quad\text{(quadrante II)}.
Também poderíamos usar a forma geral da solução:
\theta = \arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right)+2k\pi\quad\text{ou}\quad \theta=\pi-\arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right)+2k\pi,
que para k=0 dão \tfrac{\pi}{6} e \tfrac{5\pi}{6}.

Passo 7

Verificação rápida: substituir os senos na expressão original para garantir que funcionam.
  • Para \operatorname{sen}\theta=1:
2(1)^{2}-3(1)=2-3=-1,
que é igual ao lado direito -1. OK.
  • Para \operatorname{sen}\theta=\tfrac{1}{2}:
2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-3\left(\tfrac{1}{2}\right)=2\cdot\tfrac{1}{4}-\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-1,
também OK.

Passo 8

Portanto as soluções encontradas estão corretas e são todas as soluções no intervalo pedido. Força aí — você já tem o passo a passo completo para aplicar em questões parecidas: transforme em quadrática em \operatorname{sen}\theta, resolva, e depois converta as raízes para ângulos usando o círculo unitário.

Resposta

\theta=\tfrac{\pi}{6}
\theta=\tfrac{\pi}{2}
\theta=\tfrac{5\pi}{6}

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