Questão 1 (2 pontos)
a) Encontrar o conjunto solução para todos os valores de
, até a segunda casa decimal:
.
b) Quantos ângulos agudos diferentes satisfazem a equação trigonométrica no item (a)?
b) Quantos ângulos agudos diferentes satisfazem a equação trigonométrica no item (a)?
Passo 1
O enunciado dá a equação envolvendo
:
Perguntas:
- (a) Encontrar o conjunto solução para todos os valores de
, com cada valor arredondado até a segunda casa decimal. - (b) Determinar quantos ângulos agudos diferentes satisfazem a equação do item (a).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita dentro da função trigonométrica é
, mas o enunciado pede explicitamente os valores de . - A equação é um polinômio quadrático em
. - Para contar ângulos agudos, lembraremos que ângulos agudos são aqueles com
(ou em radianos).
Passo 2
Substituímos
para transformar o problema numa equação algébrica mais simples. Assim obtemos a equação quadrática
Colocando tudo no lado esquerdo:
Agora vamos resolver essa equação quadrática. Vou explicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para uma equação
as raízes são dadas por
onde
,
e
são os coeficientes da equação. O termo dentro da raiz,
, chama-se discriminante e indica a natureza das raízes (se é positivo, duas raízes reais distintas; se zero, uma raiz real dupla; se negativo, raízes complexas).
Passo 3
Aplicando a fórmula à nossa equação
, temos
,
(atenção ao sinal) e
. Calculamos o discriminante:
Como
, há duas raízes reais distintas. Agora as raízes são
Vou calcular numericamente cada uma com mais casas antes de arredondar.
Passo 4
Cálculo numérico das raízes (mostrando contas para arredondar corretamente):
- Primeiro,
(valor aproximado suficiente para arredondamento). - Para o sinal
:
Arredondando para a segunda casa decimal (regra normal de arredondamento),
.
- Para o sinal
:
Arredondando para a segunda casa decimal,
.
Portanto os valores de
que resolvem a equação são aproximadamente
e
.
Passo 5
Interpretação trigonométrica e solução geral em
(explicação didática):
- Quando encontramos
, as soluções para não são únicas porque a tangente é periódica de período . A forma geral é
onde
é a solução principal (no intervalo
).
- No entanto, o item (a) pediu apenas os valores de
(ou seja, os ), que já encontramos e arredondamos. - Para o item (b), precisamos contar quantos ângulos agudos (ou seja,
em ) satisfazem a equação. Observações importantes: - Ambos os
encontrados são positivos ( e ). - A função
é estritamente crescente em e mapeia esse intervalo em . Isso significa que para cada valor positivo existe exatamente um agudo tal que .
Portanto, para cada uma das duas raízes positivas existe exatamente um ângulo agudo correspondente. Logo existem exatamente dois ângulos agudos diferentes que satisfazem a equação.
- Ambos os
Passo 6
(Pequeno reforço e checagem) Se quiser ver os ângulos aproximados só para intuição:
Ambos estão em
, confirmando que são dois ângulos agudos.
Resposta
a)
ou
b)
b)