Questão 1 (2 pontos)

a) Encontrar o conjunto solução para todos os valores de \tan \theta, até a segunda casa decimal: 2 \tan ^{2} \theta=5 \tan \theta-1.
b) Quantos ângulos agudos diferentes satisfazem a equação trigonométrica no item (a)?

Passo 1

O enunciado dá a equação envolvendo \tan\theta:
2\tan^{2}\theta = 5\tan\theta - 1.
Perguntas:
  1. (a) Encontrar o conjunto solução para todos os valores de \tan\theta, com cada valor arredondado até a segunda casa decimal.
  2. (b) Determinar quantos ângulos agudos diferentes satisfazem a equação do item (a).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita dentro da função trigonométrica é \theta, mas o enunciado pede explicitamente os valores de \tan\theta.
  • A equação é um polinômio quadrático em \tan\theta.
  • Para contar ângulos agudos, lembraremos que ângulos agudos são aqueles com 0^\circ<\theta<90^\circ (ou 0<\theta<\tfrac{\pi}{2} em radianos).

Passo 2

Substituímos t=\tan\theta para transformar o problema numa equação algébrica mais simples. Assim obtemos a equação quadrática
2t^{2}=5t-1.
Colocando tudo no lado esquerdo:
2t^{2}-5t+1=0.
Agora vamos resolver essa equação quadrática. Vou explicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para uma equação \;at^{2}+bt+c=0\; as raízes são dadas por
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da equação. O termo dentro da raiz, \Delta=b^{2}-4ac, chama-se discriminante e indica a natureza das raízes (se é positivo, duas raízes reais distintas; se zero, uma raiz real dupla; se negativo, raízes complexas).

Passo 3

Aplicando a fórmula à nossa equação \;2t^{2}-5t+1=0\;, temos a=2, b=-5 (atenção ao sinal) e c=1. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot 2\cdot 1 = 25-8=17.
Como \Delta=17>0, há duas raízes reais distintas. Agora as raízes são
t=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}.
Vou calcular numericamente cada uma com mais casas antes de arredondar.

Passo 4

Cálculo numérico das raízes (mostrando contas para arredondar corretamente):
  • Primeiro, \sqrt{17}\approx 4,123105626 (valor aproximado suficiente para arredondamento).
  • Para o sinal +:
t_{1}=\frac{5+\sqrt{17}}{4}=\frac{5+4,123105626}{4}=\frac{9,123105626}{4}=2,2807764065\ldots
Arredondando para a segunda casa decimal (regra normal de arredondamento), t_{1}\approx 2,28.
  • Para o sinal -:
t_{2}=\frac{5-\sqrt{17}}{4}=\frac{5-4,123105626}{4}=\frac{0,876894374}{4}=0,2192235935\ldots
Arredondando para a segunda casa decimal, t_{2}\approx 0,22.
Portanto os valores de \tan\theta que resolvem a equação são aproximadamente \;2,28 e \;0,22.

Passo 5

Interpretação trigonométrica e solução geral em \theta (explicação didática):
  • Quando encontramos t=\tan\theta=t_{0}, as soluções para \theta não são únicas porque a tangente é periódica de período \pi. A forma geral é
\theta = \arctan(t_{0}) + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
onde \arctan(t_{0}) é a solução principal (no intervalo -\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).
  • No entanto, o item (a) pediu apenas os valores de \tan\theta (ou seja, os t), que já encontramos e arredondamos.
  • Para o item (b), precisamos contar quantos ângulos agudos (ou seja, \theta em 0<\theta<\tfrac{\pi}{2}) satisfazem a equação. Observações importantes:
    • Ambos os t encontrados são positivos ( 2,28>0 e 0,22>0).
    • A função \tan\theta é estritamente crescente em (0,\tfrac{\pi}{2}) e mapeia esse intervalo em (0,+\infty). Isso significa que para cada valor positivo t_{0} existe exatamente um \theta agudo tal que \tan\theta=t_{0}.
      Portanto, para cada uma das duas raízes positivas existe exatamente um ângulo agudo correspondente. Logo existem exatamente dois ângulos agudos diferentes que satisfazem a equação.

Passo 6

(Pequeno reforço e checagem) Se quiser ver os ângulos aproximados só para intuição:
\theta_{a}\approx \arctan(0,22)\approx 12,4^\circ,\qquad \theta_{b}\approx \arctan(2,28)\approx 66,8^\circ.
Ambos estão em (0^\circ,90^\circ), confirmando que são dois ângulos agudos.

Resposta

a) \tan\theta=2,28 ou \tan\theta=0,22
b) 2

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