Fazendo uso do teorema dos rexíduos calcule:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral
sob a condição
. Informações dadas e objetivo:
- Integramos em
no intervalo . - O parâmetro
satisfaz . - Quero usar o teorema dos resíduos para avaliar essa integral real por meio de uma integral de contorno complexa.
Passo 2
Vou transformar a integral real numa integral ao longo do círculo unitário no plano complexo usando a substituição clássica
Explicando as relações que isso implica:
-
. -
porque .
Assim, a integral original se torna uma integral de contorno ao redor do círculo unitário.
Passo 3
Faço a substituição explicitamente. A função integranda é
Multiplicando por
, obtenho
Multiplico numerador e denominador por
para obter uma forma racional:
Portanto a integral desejada é
Passo 4
Agora analiso o denominador polinomial
Encontro as raízes de
usando a fórmula quadrática. Chamando
(bem definido e real porque
), as raízes são
Observação útil: o produto das raízes é
ou seja, as raízes são recíprocas: uma tem módulo menor que
e a outra módulo maior que
. Para identificar qual está dentro do círculo unitário, faço um teste no caso
: para
pequeno,
é pequeno (módulo
), enquanto
é grande. Assim a raiz dentro do círculo unitário é
Passo 5
Vou aplicar o teorema dos resíduos. A integral de contorno ao redor do círculo unitário, pela orientação positiva, vale
vezes a soma dos resíduos das singularidades internas. A função integranda é
As raízes de
são simples (discriminante não nulo porque
), então cada polo é simples. Para um polo simples
a fórmula do resíduo é
Portanto a integral vale
Passo 6
Calculo
e avalio em
. Temos
Logo
Substituo
para simplificar
:
Portanto
e a integral é
Lembrando
, concluímos