Fazendo uso do teorema dos rexíduos calcule:
\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{1+\varepsilon \cos \theta} \text { para }|\varepsilon|<1 \text {. }

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1+\varepsilon\cos\theta}
sob a condição |\varepsilon|<1. Informações dadas e objetivo:
  • Integramos em \theta no intervalo [0,2\pi].
  • O parâmetro \varepsilon satisfaz |\varepsilon|<1.
  • Quero usar o teorema dos resíduos para avaliar essa integral real por meio de uma integral de contorno complexa.

Passo 2

Vou transformar a integral real numa integral ao longo do círculo unitário no plano complexo usando a substituição clássica
z=e^{i\theta}.
Explicando as relações que isso implica:
  • \cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\dfrac{z+z^{-1}}{2}.
  • d\theta=\dfrac{dz}{i z} porque dz=i e^{i\theta}d\theta=i z\,d\theta.
    Assim, a integral original se torna uma integral de contorno ao redor do círculo unitário |z|=1.

Passo 3

Faço a substituição explicitamente. A função integranda é
\frac{1}{1+\varepsilon\cos\theta}=\frac{1}{1+\varepsilon\frac{z+z^{-1}}{2}}=\frac{2}{2+\varepsilon(z+z^{-1})}.
Multiplicando por d\theta=\dfrac{dz}{i z}, obtenho
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1+\varepsilon\cos\theta} =\oint_{|z|=1}\frac{2}{2+\varepsilon(z+z^{-1})}\cdot\frac{dz}{i z}.
Multiplico numerador e denominador por z para obter uma forma racional:
\oint_{|z|=1}\frac{2}{i}\cdot\frac{dz}{\varepsilon z^{2}+2z+\varepsilon}.
Portanto a integral desejada é
I=\oint_{|z|=1}\frac{2}{i}\cdot\frac{dz}{\varepsilon z^{2}+2z+\varepsilon}.

Passo 4

Agora analiso o denominador polinomial
P(z)=\varepsilon z^{2}+2z+\varepsilon.
Encontro as raízes de P(z)=0 usando a fórmula quadrática. Chamando s=\sqrt{1-\varepsilon^{2}} (bem definido e real porque |\varepsilon|<1), as raízes são
z_{\pm}=\frac{-2\pm\sqrt{4-4\varepsilon^{2}}}{2\varepsilon}=\frac{-1\pm s}{\varepsilon}.
Observação útil: o produto das raízes é
z_{+}z_{-}=\frac{\varepsilon}{\varepsilon}=1,
ou seja, as raízes são recíprocas: uma tem módulo menor que 1 e a outra módulo maior que 1. Para identificar qual está dentro do círculo unitário, faço um teste no caso \varepsilon\to0: para \varepsilon pequeno, z_{+}\approx -\varepsilon/2 é pequeno (módulo <1), enquanto z_{-} é grande. Assim a raiz dentro do círculo unitário é
z_{0}=z_{+}=\frac{-1+s}{\varepsilon}.

Passo 5

Vou aplicar o teorema dos resíduos. A integral de contorno ao redor do círculo unitário, pela orientação positiva, vale 2\pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades internas. A função integranda é
f(z)=\frac{2}{i}\cdot\frac{1}{P(z)}.
As raízes de P são simples (discriminante não nulo porque |\varepsilon|<1), então cada polo é simples. Para um polo simples z_0 a fórmula do resíduo é
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=\frac{2}{i}\cdot\frac{1}{P'(z_0)}.
Portanto a integral vale
I=2\pi i\cdot \operatorname{Res}(f,z_0)=2\pi i\cdot\frac{2}{i}\cdot\frac{1}{P'(z_0)}=\frac{4\pi}{P'(z_0)}.

Passo 6

Calculo P'(z) e avalio em z_0. Temos
P'(z)=2\varepsilon z+2=2(\varepsilon z+1).
Logo
P'(z_0)=2(\varepsilon z_0+1).
Substituo z_0=\dfrac{-1+s}{\varepsilon} para simplificar \varepsilon z_0+1:
\varepsilon z_0+1=\varepsilon\cdot\frac{-1+s}{\varepsilon}+1=-1+s+1=s.
Portanto P'(z_0)=2s e a integral é
I=\frac{4\pi}{2s}=\frac{2\pi}{s}.
Lembrando s=\sqrt{1-\varepsilon^{2}}, concluímos
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1+\varepsilon\cos\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{1-\varepsilon^{2}}},\qquad |\varepsilon|<1.

Resposta

\frac{2\pi}{\sqrt{1-\varepsilon^{2}}}

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