Questão 5 (1 ponto)

Encontrar o menor valor positivo de x que satisfaz a equação dada: \sqrt{5 \tan ^{2} x+4}-3=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o menor valor positivo de x que satisfaz a equação
\sqrt{5\tan^{2}x+4}-3=0.
Informações relevantes fornecidas:
\sqrt{5\tan^{2}x+4}-3=0 é a equação a resolver.
Devemos lembrar que \tan x não está definida em x=\frac{\pi}{2}+k\pi (esses pontos devem ser evitados).
A resposta solicitada é o menor x>0 que torna a equação verdadeira.

Passo 2

Isolamos a raiz. Somando 3 em ambos os lados obtemos
\sqrt{5\tan^{2}x+4}=3.
Explicação didática: a função \sqrt{\cdot} retorna sempre um número não negativo. Aqui o lado direito é 3\ge0, portanto não há contradição em igualar a raiz a 3.

Passo 3

Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado. Como ambos os lados são não negativos, elevar ao quadrado não cria soluções falsas nessa etapa (a raiz já foi isolada). Assim:
5\tan^{2}x+4=3^{2}=9.

Passo 4

Resolvemos a equação algébrica obtida:
5\tan^{2}x+4=9 \implies 5\tan^{2}x=5 \implies \tan^{2}x=1.
Explicação didática: \tan^{2}x significa (\tan x)^{2}. A equação \tan^{2}x=1 significa que o quadrado de \tan x é 1, portanto \tan x=1 ou \tan x=-1.

Passo 5

Encontramos as soluções gerais das duas equações trigonométricas:
  • Para \tan x=1: a solução geral é
x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
porque a tangente tem período \pi e \tan\frac{\pi}{4}=1.
  • Para \tan x=-1: a solução geral é
x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
que também pode ser escrita como x=\frac{3\pi}{4}+k\pi.

Passo 6

Agora escolhemos os valores positivos e comparamos para achar o menor positivo:
  • Da família \displaystyle x=\frac{\pi}{4}+k\pi, com k=0 obtemos x=\frac{\pi}{4} (positivo).
  • Da família \displaystyle x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, com k=1 obtemos x=\frac{3\pi}{4} (positivo), que é maior que \frac{\pi}{4}.
Verificação da validade: nenhum desses valores coincide com pontos onde \tan x é indeterminada ( x=\frac{\pi}{2}+k\pi), então são admissíveis. Substituindo \tan^{2}x=1 na equação original temos \sqrt{5\cdot1+4}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0, portanto ambas as famílias realmente satisfazem a equação.

Passo 7

Concluímos que o menor valor positivo entre todas as soluções é
x=\frac{\pi}{4}.
Se quiser, dá pra transformar em decimal: \frac{\pi}{4}\approx0{,}785. Força aí — este tipo de conta é direto na prova: isola a raiz, eleva ao quadrado, resolve a equação quadrática em \tan x e aplica as soluções gerais da tangente.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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