Questão 5 (1 ponto)
Encontrar o menor valor positivo de
que satisfaz a equação dada:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o menor valor positivo de
que satisfaz a equação
Informações relevantes fornecidas:
é a equação a resolver.
Devemos lembrar que não está definida em
(esses pontos devem ser evitados).
A resposta solicitada é o menor que torna a equação verdadeira.
Devemos lembrar que
A resposta solicitada é o menor
Passo 2
Isolamos a raiz. Somando
em ambos os lados obtemos
Explicação didática: a função
retorna sempre um número não negativo. Aqui o lado direito é
, portanto não há contradição em igualar a raiz a
.
Passo 3
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado. Como ambos os lados são não negativos, elevar ao quadrado não cria soluções falsas nessa etapa (a raiz já foi isolada). Assim:
Passo 4
Resolvemos a equação algébrica obtida:
Explicação didática:
significa
. A equação
significa que o quadrado de
é
, portanto
ou
.
Passo 5
Encontramos as soluções gerais das duas equações trigonométricas:
- Para
: a solução geral é
porque a tangente tem período
e
.
- Para
: a solução geral é
que também pode ser escrita como
.
Passo 6
Agora escolhemos os valores positivos e comparamos para achar o menor positivo:
- Da família
, com obtemos (positivo). - Da família
, com obtemos (positivo), que é maior que .
Verificação da validade: nenhum desses valores coincide com pontos onde
é indeterminada (
), então são admissíveis. Substituindo
na equação original temos
, portanto ambas as famílias realmente satisfazem a equação.
Passo 7
Concluímos que o menor valor positivo entre todas as soluções é
Se quiser, dá pra transformar em decimal:
. Força aí — este tipo de conta é direto na prova: isola a raiz, eleva ao quadrado, resolve a equação quadrática em
e aplica as soluções gerais da tangente.