Encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas x^2-x^4+y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas definida por . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivadas e peças de família de curvas. Precisaremos calcular as derivadas das curvas dadas e então determinar as trajetórias que se cruzam perpendicularmente a essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a família de curvas que nos foi dada: . Essa é uma equação que relaciona e e define uma série de curvas no plano.

Passo 3

Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos saber a inclinação (ou taxa de variação) das curvas originais. Para isso, vamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, , usando derivação implícita.

Passo 4

Vamos derivar a equação ddx(x^2) - ddx(x^4) + ddx(y^2) = 0 em relação a 2x - 4x^3 + 2y dydx = 0 :
Isso dá:

Passo 5

Agora, vamos isolar 2y dydx = -2x + 4x^3 :
dydx = -2x + 4x^32y = -x + 2x^3y
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Essa é a inclinação das curvas originais. Para as trajetórias ortogonais, queremos a inclinação que é o recíproco negativo disso. Então, a inclinação das trajetórias será:
dydx = -y-x + 2x^3 = yx - 2x^3

Passo 7

Agora, temos a equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
dydx = yx - 2x^3
Essa é uma equação diferencial de variáveis separáveis, então podemos separar as variáveis dyy = dxx - 2x^3 e :

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados:
integral 1y dy = integral 1x - 2x^3 dx
A integral do lado esquerdo é simples:
ln |y| = integral 1x(1 - 2x^2) dx

Passo 9

Para resolver a integral no lado direito, vamos usar frações parciais. Queremos decompôr 1x(1 - 2x^2) = Ax + Bx + C1 - 2x^2 em frações mais simples:
Resolvendo para , e , encontramos os valores que satisfazem a igualdade.

Passo 10

Após encontrar os valores de , e , integramos cada termo separadamente e obtemos uma expressão para . Depois, resolvemos para , chegando à equação das trajetórias ortogonais.

Resposta

As trajetórias ortogonais da família de curvas são dadas por , onde é a função obtida após integrar a equação diferencial, e é uma constante de integração.

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