Encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas definida por
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivadas e peças de família de curvas. Precisaremos calcular as derivadas das curvas dadas e então determinar as trajetórias que se cruzam perpendicularmente a essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a família de curvas que nos foi dada:
. Essa é uma equação que relaciona
e
e define uma série de curvas no plano.
Passo 3
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos saber a inclinação (ou taxa de variação) das curvas originais. Para isso, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando derivação implícita.
Passo 4
Vamos derivar a equação
em relação a
:
Isso dá:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Essa é a inclinação das curvas originais. Para as trajetórias ortogonais, queremos a inclinação que é o recíproco negativo disso. Então, a inclinação das trajetórias será:
Passo 7
Agora, temos a equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Essa é uma equação diferencial de variáveis separáveis, então podemos separar as variáveis
e
:
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é simples:
Passo 9
Para resolver a integral no lado direito, vamos usar frações parciais. Queremos decompôr
em frações mais simples:
Resolvendo para
,
e
, encontramos os valores que satisfazem a igualdade.
Passo 10
Após encontrar os valores de
,
e
, integramos cada termo separadamente e obtemos uma expressão para
. Depois, resolvemos para
, chegando à equação das trajetórias ortogonais.
Resposta
As trajetórias ortogonais da família de curvas
são dadas por
, onde
é a função obtida após integrar a equação diferencial, e
é uma constante de integração.