Resolver a EDO: (2 x y^3+y cdot cos (x)) d x+(3 x^2 y^2+sen(x)) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo exata para resolver:
Vamos precisar usar o conceito de equações exatas e integrar para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se essa EDO é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais:
Seja partial Mpartial y = 6x y^2 + cos(x) e .
Calculamos as derivadas parciais:
partial Npartial x = 6x y^2 + cos(x)
Como , a equação é exata!

Passo 3

Como a EDO é exata, existe uma função partial Fpartial x = M = 2x y^3 + y cos(x) tal que:
F(x, y) = integral (2x y^3 + y cos(x)) dx = x^2 y^3 + y sen(x) + g(y)
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 4

Agora, vamos encontrar partial Fpartial y = 3x^2 y^2 + sen(x) + g'(y) = N = 3x^2 y^2 + sen(x) comparando com :
Isso implica que , então é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 5

Finalmente, a solução geral da EDO é dada por:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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