Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de x=0 da solução geral da equação diferencial
(2 x-3) y^prime prime-x y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede os primeiros quatro termos não nulos da expansão em série de potência, em torno de 0, da solução geral da EDO (2x-3)y'' - x y' + y = 0. Vamos usar o método de série de potências e obter uma recorrência para os coeficientes.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(x)=sumn=0^infty an x^n. Então
y'(x)=sumn=1^infty n an x^n-1,
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2.

Passo 3

Substituindo na EDO:
(2x-3)y''-x y'+y=0
Rightarrow -3sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2+2sumn=2^infty n(n-1)an x^n-1-sumn=1^infty n an x^n+sumn=0^infty an x^n=0

Passo 4

Reindexando cada soma para ter x^k e coletando termos, obtemos a relação de recorrência, para k>=0:
-3(k+2)(k+1)ak+2+2k(k+1)ak+1+(1-k)ak=0,
ou seja
ak+2=2k(k+1)ak+1+(1-k)ak3(k+2)(k+1)

Passo 5

Tomamos a0 e a1 como constantes livres. Calculamos coeficientes sucessivos:
para k=0: a2=dfraca06,
para k=1: a3=dfraca027,
para k=2: a4=dfrac5a0648,
para k=3: a5=dfraca0540.

Passo 6

Observamos ainda que, se a0=0 e a1neq0, todos os an com n>=2 são zero, dando a solução trivial y2(x)=x.
Logo, a solução geral é y(x)=C1y1(x)+C2y2(x), com
y1(x)=1+x^26+x^327+5x^4648+cdots, y2(x)=x

Passo 7

Os quatro primeiros termos não nulos da série de potência de y(x) são, portanto,
C1,
C2x,
C1dfracx^26,
C1dfracx^327.

Resposta

y(x)=C1 + C2,x + C16x^2 + C127x^3 + dots

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