Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede os primeiros quatro termos não nulos da expansão em série de potência, em torno de 0, da solução geral da EDO
. Vamos usar o método de série de potências e obter uma recorrência para os coeficientes.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
. Então
,
.
Passo 3
Substituindo na EDO:
Passo 4
Reindexando cada soma para ter
e coletando termos, obtemos a relação de recorrência, para
:
ou seja
Passo 5
Tomamos
e
como constantes livres. Calculamos coeficientes sucessivos:
para
,
para
,
para
,
para
.
para
para
para
para
Passo 6
Observamos ainda que, se
e
, todos os
com
são zero, dando a solução trivial
.
Logo, a solução geral é , com
Logo, a solução geral é
Passo 7
Os quatro primeiros termos não nulos da série de potência de
são, portanto,
,
,
,
.