Exercício 2 - Resolva as seguintes equações de Riccati:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma solução particular:
- Equação:
. - Solução particular conhecida:
.
O que se pede: encontrar a solução geral da equação diferencial, usando a informação de que
é uma solução particular.
Informações relevantes a observar desde já:
- A equação pode ser rearranjada na forma
; é preciso ter cuidado com os pontos e porque o coeficiente de é . - Já existe uma solução particular
, o que sugere transformar a equação para reduzir a ordem/complexidade.
Passo 2
Estratégia (explicada sem pressa): quando uma equação de Riccati tem uma solução particular
, a substituição
reduz a equação de Riccati a uma equação linear de primeira ordem para
. Vou explicar por quê e aplicar aqui passo a passo.
Começo por escrever a equação na forma padrão
. Dividindo a equação dada por
obtenho:
Portanto, identifico
Passo 3
Agora faço a substituição
. Calculo
:
Vou substituir
e
na forma
e usar o fato de que
satisfaz a equação original (ou seja,
). A demonstração geral dá, após multiplicar por
e cancelar termos, a equação linear
Agora calculo
e
com os
que achei e com
.
Passo 4
Calculemos explicitamente:
Então
Colocando em denominador comum
:
E lembrando
, a equação para
fica
Reescrevendo em forma padrão:
Passo 5
Agora resolvo a equação linear para
:
Calculo o fator integrante
. Faço a decomposição em frações parciais
logo
Portanto
Multiplicando a equação por
resulta em
Passo 6
Integro ambos os lados:
onde
é constante arbitrária de integração. Isolando
:
Coloco em forma mais compacta:
onde ainda chamo de
a constante arbitrária.
Passo 7
Voltando à substituição
, obtenho
Faço a soma em uma fração única para simplificar:
Assim a solução geral fica
com
constante arbitrária. Lembretes sobre domínio: deve-se ter
,
(pela equação original) e
para que a fórmula não apresente divisão por zero.