Exercício 2 - Resolva as seguintes equações de Riccati:
x(x-1) y^{\prime}-(2 x+1) y+y^{2}+2 x=0, y_{1}(x)=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma solução particular:
  • Equação: x(x-1)\,y^{\prime}-(2x+1)\,y+y^{2}+2x=0.
  • Solução particular conhecida: y_{1}(x)=x.
O que se pede: encontrar a solução geral da equação diferencial, usando a informação de que y_{1}(x)=x é uma solução particular.
Informações relevantes a observar desde já:
  • A equação pode ser rearranjada na forma y'=\cdots; é preciso ter cuidado com os pontos x=0 e x=1 porque o coeficiente de y' é x(x-1).
  • Já existe uma solução particular y_{1}(x)=x, o que sugere transformar a equação para reduzir a ordem/complexidade.

Passo 2

Estratégia (explicada sem pressa): quando uma equação de Riccati tem uma solução particular y_{1}, a substituição
y=y_{1}+\frac{1}{u}
reduz a equação de Riccati a uma equação linear de primeira ordem para u(x). Vou explicar por quê e aplicar aqui passo a passo.
Começo por escrever a equação na forma padrão y'=A(x)+B(x)y+C(x)y^{2}. Dividindo a equação dada por x(x-1) obtenho:
y'=\frac{-y^{2}+(2x+1)y-2x}{x(x-1)}.
Portanto, identifico
A(x)=-\frac{2x}{x(x-1)}=-\frac{2}{x-1},\qquad B(x)=\frac{2x+1}{x(x-1)},\qquad C(x)=-\frac{1}{x(x-1)}.

Passo 3

Agora faço a substituição y=y_{1}+\dfrac{1}{u}=x+\dfrac{1}{u}. Calculo y':
y'=\frac{d}{dx}\!\left(x+\frac{1}{u}\right)=1-\frac{u'}{u^{2}}.
Vou substituir y e y' na forma y'=A+B y+C y^{2} e usar o fato de que y_{1} satisfaz a equação original (ou seja, y_{1}'=A+B y_{1}+C y_{1}^{2}). A demonstração geral dá, após multiplicar por u^{2} e cancelar termos, a equação linear
u'+\bigl(B+2C y_{1}\bigr)u + C=0.
Agora calculo B+2C y_{1} e C com os A,B,C que achei e com y_{1}=x.

Passo 4

Calculemos explicitamente:
2C y_{1}=2\cdot\left(-\frac{1}{x(x-1)}\right)\cdot x=-\frac{2}{x-1}.
Então
B+2C y_{1}=\frac{2x+1}{x(x-1)}-\frac{2}{x-1}.
Colocando em denominador comum x(x-1):
B+2C y_{1}=\frac{2x+1-2x}{x(x-1)}=\frac{1}{x(x-1)}.
E lembrando C=-\dfrac{1}{x(x-1)}, a equação para u fica
u'+\frac{1}{x(x-1)}\,u-\frac{1}{x(x-1)}=0.
Reescrevendo em forma padrão:
u'+\frac{1}{x(x-1)}\,u=\frac{1}{x(x-1)}.

Passo 5

Agora resolvo a equação linear para u:
u'+p(x)u=q(x),\qquad \text{com }p(x)=\frac{1}{x(x-1)},\quad q(x)=\frac{1}{x(x-1)}.
Calculo o fator integrante \mu(x)=\exp\!\bigl(\int p(x)\,dx\bigr). Faço a decomposição em frações parciais
\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x},
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\int p(x)\,dx=\int\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}\right)dx=\ln|x-1|-\ln|x|=\ln\left|\frac{x-1}{x}\right|.
Portanto
\mu(x)=\frac{x-1}{x}\quad(\text{escolhendo o sinal consistente no intervalo considerado}).
Multiplicando a equação por \mu resulta em
\left(\frac{x-1}{x}u\right)'=\frac{x-1}{x}\cdot\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1}{x^{2}}.

Passo 6

Integro ambos os lados:
\frac{x-1}{x}\,u=\int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C,
onde C é constante arbitrária de integração. Isolando u:
u=\frac{x}{x-1}\left(-\frac{1}{x}+C\right)=-\frac{1}{x-1}+C\frac{x}{x-1}.
Coloco em forma mais compacta:
u=\frac{C x-1}{x-1},
onde ainda chamo de C a constante arbitrária.

Passo 7

Voltando à substituição y=x+\dfrac{1}{u}, obtenho
y=x+\frac{1}{u}=x+\frac{x-1}{C x-1}.
Faço a soma em uma fração única para simplificar:
y=\frac{x(Cx-1)+(x-1)}{Cx-1}=\frac{C x^{2}-1}{C x-1}.
Assim a solução geral fica
y(x)=\frac{C x^{2}-1}{C x-1},
com C constante arbitrária. Lembretes sobre domínio: deve-se ter x\neq0, x\neq1 (pela equação original) e C x-1\neq0 para que a fórmula não apresente divisão por zero.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{C x^{2}-1}{C x-1},\qquad C\in\mathbb{R}

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