Encontrar o valor da função raiz n-ésima principal para o valor de z dado.
(c) z^{1 / 5}, z=-4 \sqrt{3}+4 i

Passo 1

O enunciado pede a raiz quinta principal de z=-4\sqrt{3}+4\,i. Vamos usar a forma polar de z e o Teorema de De Moivre: primeiro calculamos o módulo r e o argumento principal \varphi, depois fazemos
z^{1/5}=r^{1/5}\bigl[\cos(\varphi/5)+i\sin(\varphi/5)\bigr].

Passo 2

Calculamos o módulo de z:
r = |z| = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8.

Passo 3

Determinamos o argumento principal \varphi. Como \Re(z)=-4\sqrt{3}<0 e \Im(z)=4>0, z está no segundo quadrante.
O ângulo de referência é
\arctan\!\biggl|\frac{4}{-4\sqrt{3}}\biggr| =\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) =\frac{\pi}{6}.
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\varphi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.

Passo 4

O módulo da raiz quinta é
r^{1/5} = 8^{1/5} = (2^3)^{1/5} = 2^{3/5}.

Passo 5

O argumento principal da raiz é
\frac{\varphi}{5} = \frac{5\pi/6}{5} = \frac{\pi}{6}.

Passo 6

Aplicando a fórmula de De Moivre para a raiz quinta principal,
z^{1/5} =2^{3/5}\bigl[\cos(\tfrac{\pi}{6}) + i\sin(\tfrac{\pi}{6})\bigr].
Como \cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(\pi/6)=\tfrac12, podemos escrever também
z^{1/5} =2^{3/5}\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\,\frac12\Bigr).

Resposta

z^{1/5} =2^{3/5}\bigl[\cos(\tfrac{\pi}{6}) + i\sin(\tfrac{\pi}{6})\bigr] =2^{3/5}\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{i}{2}\Bigr).

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