Encontre todos os valores do logaritmo complexo.
(a) \ln (-5)

Passo 1

O enunciado pede todos os valores do logaritmo complexo de -5. Este exercício envolve a extensão do logaritmo real para números complexos. Para resolver, vamos usar a definição geral do logaritmo complexo, que combina o módulo e o argumento de z.

Passo 2

A fórmula geral para o logaritmo complexo de z\neq0 é
\ln z = \ln|z| + i(\theta + 2\pi k)
onde \theta é o argumento principal de z (ou seja, \arg z em (-\pi,\pi]) e k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

No caso z=-5, temos |z|=5 e o argumento principal \theta=\pi. Substituindo na fórmula,
\ln(-5)=\ln5 + i(\pi + 2\pi k)=\ln5 + i(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\ln(-5)=\ln5 + i(2k+1)\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.

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