Encontrar o valor da função raiz n-ésima principal para o valor de z dado.
(b) z^{1 / 3}, z=-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz cúbica principal do número complexo z=-1. Vamos usar representação em forma polar e a fórmula da raiz n-ésima principal
z^{1/n}=|z|^{1/n}\,e^{i\,\mathrm{Arg}(z)/n}.

Passo 2

Representamos z=-1 em forma polar. O módulo é
|z|=1
e o argumento principal é
\mathrm{Arg}(z)=\pi
pois -1 está no eixo real negativo. Logo
z=e^{i\pi}.

Passo 3

Aplicamos a fórmula com n=3:
z^{1/3}=|z|^{1/3}\,e^{i\,\mathrm{Arg}(z)/3}.

Passo 4

Calculamos cada parte:
|z|^{1/3}=1^{1/3}=1, \qquad \mathrm{Arg}(z)/3=\pi/3.
Assim
z^{1/3}=e^{i\pi/3}=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)+i\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr).

Passo 5

Usamos \cos(\pi/3)=\tfrac12 e \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}2. Portanto
z^{1/3}=\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt{3}}2.

Resposta

z^{1/3}=\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt{3}}2

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