Encontrar o valor da função raiz n-ésima principal para o valor de z dado.
(a) z^{1 / 2}, z=-i

Passo 1

O enunciado pede a raiz quadrada principal de um número complexo. O conteúdo aqui é: usar a representação polar de z e, em seguida, aplicar a fórmula da raiz n-ésima principal, que para n=2 é
z^{1/2} = \sqrt{r}\,e^{i\frac{\Arg(z)}{2}},
onde r=|z| e \Arg(z) é o argumento principal de z.

Passo 2

Calcular o módulo e o argumento de z=-i.
O módulo é
r = |{-i}| = 1.
Para o argumento principal escolhemos \Arg(-i) = -\tfrac{\pi}{2} (pois -i fica na direção de -90^\circ).

Passo 3

Aplicar a fórmula da raiz quadrada principal:
(-i)^{1/2} = \sqrt{1}\;e^{\,i\frac{-\pi/2}{2}} = e^{-i\pi/4}.
Convertendo em forma trigonométrica:
e^{-i\pi/4} = \cos\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) + i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\,\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

(-i)^{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \;-\; i\,\frac{\sqrt{2}}{2}.

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