Find f^{\prime}(x) and f^{\prime \prime}(x).
f(x)=x^{5 / 2} e^{x}

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=x^{5/2}e^x
e pede f'(x) e f''(x). Vamos usar a regra do produto e a derivada de potência.

Passo 2

Para calcular f'(x), escrevemos f(x)=u(x)v(x) com u(x)=x^{5/2} e v(x)=e^x. Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Como u'(x)=\tfrac{5}{2}x^{3/2} e v'(x)=e^x, temos
f'(x)=\frac{5}{2}x^{3/2}e^x + x^{5/2}e^x =e^x\Bigl(x^{5/2}+\tfrac{5}{2}x^{3/2}\Bigr).
Fatorando x^{3/2},
f'(x)=e^x\,x^{3/2}\Bigl(x+\tfrac{5}{2}\Bigr).

Passo 3

Agora, para f''(x), note que
f'(x)=e^x\,g(x),
onde g(x)=x^{3/2}(x+\tfrac{5}{2}). Aplicamos novamente a regra do produto:
f''(x)=e^x\,g(x)+e^x\,g'(x) =e^x\bigl(g(x)+g'(x)\bigr).

Passo 4

Precisamos de g'(x). Expandindo
g(x)=x^{5/2}+\frac{5}{2}x^{3/2},
derivamos termo a termo:
g'(x)=\frac{5}{2}x^{3/2}+\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2} =\frac{5}{2}x^{3/2}+\frac{15}{4}x^{1/2}.
Logo
g(x)+g'(x) =x^{5/2}+\frac{5}{2}x^{3/2} +\frac{5}{2}x^{3/2}+\frac{15}{4}x^{1/2} =x^{5/2}+5x^{3/2}+\frac{15}{4}x^{1/2}.
Fatorando x^{1/2},
g(x)+g'(x) =x^{1/2}\Bigl(x^2+5x+\tfrac{15}{4}\Bigr).
Portanto
f''(x) =e^x\,x^{1/2}\Bigl(x^2+5x+\tfrac{15}{4}\Bigr).

Resposta

f'(x)=e^x\,x^{3/2}\bigl(x+\tfrac{5}{2}\bigr)
f''(x)=e^x\,x^{1/2}\bigl(x^2+5x+\tfrac{15}{4}\bigr)

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