EXEMPLO 9 Calcule integral sen 4 x cos 5 x d x.
SOLUÇÃO Essa integral poderia ser calculada utilizando integração por partes, mas é mais fácil usar a identidade na Equação 2(a) como a seguir:
integral sen 4 x cos 5 x d x & =integral 12[sen(-x)+sen 9 x] d x & =12 integral(-sen x+sen 9 x) d x & =12(cos x-19 cos 9 x)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin 4x ,cos 5x ,dx
Este é um caso de produto de funções trigonométricas, e fica mais fácil usando a identidade de produto-para-soma:
sin Acos B = tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]

Passo 2

Aplicando a identidade com A=4x e B=5x, temos
sin 4x ,cos 5x = tfrac12l[sin(4x+5x)+sin(4x-5x)r] = tfrac12l[sin 9x + sin(-x)r]

Passo 3

Como sin(-x)=-sin x, isso simplifica para
sin 4x ,cos 5x = tfrac12l[sin 9x - sin xr]
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integral sin 4x ,cos 5x ,dx = tfrac12integrall(sin 9x - sin xr),dx

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral sin 9x,dx = -tfrac19cos 9x, integral sin x,dx = -cos x,
portanto
tfrac12integral(sin 9x - sin x),dx = tfrac12l(-tfrac19cos 9x - (-cos x)r) + C = tfrac12l(cos x - tfrac19cos 9xr) + C

Resposta

integral sin 4x ,cos 5x ,dx = tfrac12l(cos x - tfrac19cos 9xr) + C

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