Encontrar os valores de extremos locais das funções:
H(x, y)=3 x y^2+x^3-3 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais da função
H(x,y)=3xy^2+x^3-3x
O conteúdo que vamos usar é: (1) cálculo de pontos críticos via gradiente nulo e (2) teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de H:
partial Hpartial x =3y^2+3x^2-3 =3l(x^2+y^2-1r),
partial Hpartial y =6xy
Para pontos críticos, impomos
partial Hpartial x=0, partial Hpartial y=0,
o que dá o sistema
x^2+y^2=1, xy=0

Passo 3

Resolvendo x y=0 junto com x^2+y^2=1 temos dois casos:
  1. x=0. Então y^2=1, ou seja, y=pm1. Pontos (0,1) e (0,-1).
  2. y=0. Então x^2=1, ou seja, x=pm1. Pontos (1,0) e (-1,0).
Logo, os pontos críticos são (1,0), (-1,0), (0,1) e (0,-1).

Passo 4

Para classificar, usamos as segundas derivadas:
Hxx=partial^2Hpartial x^2=6x, Hyy=partial^2Hpartial y^2=6x, Hxy=partial^2Hpartial xpartial y=6y
O discriminante da Hessiana é
D =Hxx,Hyy-(Hxy)^2 =36x^2-36y^2 =36l(x^2-y^2r)

Passo 5

Avaliamos D e Hxx em cada ponto:
  • Em (1,0):
    x^2-y^2=1implies D>0 e Hxx=6>0.
    Concluímos que é mínimo local.
  • Em (-1,0):
    x^2-y^2=1implies D>0 e Hxx=-6<0.
    Concluímos que é máximo local.
  • Em (0,1) e (0,-1):
    x^2-y^2=-1implies D<0.
    Concluímos que são pontos de sela.

Resposta

Local mínimo em (1,0) com H(1,0)=-2.
Local máximo em (-1,0) com H(-1,0)=2.
Pontos de sela em (0,1) e (0,-1).

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