Encontrar os valores de extremos locais das funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais da função
O conteúdo que vamos usar é: (1) cálculo de pontos críticos via gradiente nulo e (2) teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar máximo, mínimo ou sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Para pontos críticos, impomos
o que dá o sistema
Passo 3
Resolvendo
junto com
temos dois casos:
-
. Então , ou seja, . Pontos e . -
. Então , ou seja, . Pontos e .
Logo, os pontos críticos são
,
,
e
.
Passo 4
Para classificar, usamos as segundas derivadas:
O discriminante da Hessiana é
Passo 5
Avaliamos
e
em cada ponto:
-
Em
:
e .
Concluímos que é mínimo local. -
Em
:
e .
Concluímos que é máximo local. -
Em
e :
.
Concluímos que são pontos de sela.
Resposta
Local mínimo em
com
.
Local máximo em com
.
Pontos de sela em e
.
Local máximo em
Pontos de sela em